Đề thi thử 2025 Toán trường THPT chuyên Đại học Vinh (Nghệ An)

**Câu 1:** Hàm số nào dưới đây có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên?

**Câu 2:** Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x - \sin x\) là

**Câu 3:** Thống kê điểm trung bình môn Toán của các học sinh lớp 11A được cho ở bảng sau

Nhóm	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10]
Tần số	2	8	18	12

Phương sai của mẫu số liệu là

**Câu 4:** Cho hàm số \(y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}\) có đồ thị như hình vẽ bên.


Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là

**Câu 5:** Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho các vectơ \(\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}\), \(\vec{v} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}\), \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\).


Toạ độ của vectơ \(\vec{w}\) là

**Câu 6:** Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A(1; 3; 2)\), \(B(1; 0; 1)\), \(C(5; -3; 2)\). Biết rằng


\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2m. \text{ Giá trị của } m \text{ là} \]


**A.** \(m = 9\).


**B.** \(m = 18\).


**C.** \(m = -18\).


**D.** \(m = -9\).

**Câu 7:** Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau





Mệnh đề nào dưới đây sai?


**A.** Hàm số có giá trị cực tiểu bằng \(-1\).


**B.** Hàm số có ba điểm cực trị.


**C.** Hàm số có giá trị cực đại bằng \(-1\).


**D.** Hàm số có hai điểm cực đại.

**Câu 8:** Tập nghiệm của bất phương trình \(3^{2x+1} < \frac{1}{9}\) là


**A.** \((-1; +\infty)\).


**B.** \((-\infty; 1)\).


**C.** \((1; +\infty)\).


**D.** \((-\infty; -1)\).

**Câu 9:** Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC'\) và \(BB'\) bằng


**A.** \(a\).


**B.** \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).


**C.** \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\).


**D.** \(\frac{a}{2}\).

**Câu 10:** Cho hình chóp tứ giác đều \(SABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\). Góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp có số đo bằng \(45^\circ\). Thể tích khối chóp \(SABCD\) là


**A.** \(V = \frac{a^3}{4}\).


**B.** \(V = \frac{a^3}{3}\).


**C.** \(V = \frac{a^3}{2}\).


**D.** \(V = \frac{a^3}{6}\).

**Câu 11:** Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = 2\) và \(u_6 = -64\). Số hạng \(u_3\) của cấp số nhân đã cho là


**A.** \(S\).


**B.** \(-S\).


**C.** \(16\).


**D.** \(-2\).

**Câu 12:** Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau





Mệnh đề nào sau đây đúng?


**A.** \(\max_{[-1; 1]} f(x) = f(0)\).


**B.** \(\max_{(0; +\infty)} f(x) = f(1)\).


**C.** \(\max_{(-\infty; -1)} f(x) = f(-1)\).


**D.** \(\min_{(0; 1)} f(x) = f(0)\).

**Câu 1:** Cho hàm số \(f(x) = \log_2(x + 4)\).


**a)** Tập xác định của hàm số đã cho chứa đúng 4 số nguyên âm.


**b)** Phương trình \(f(x) = \log_2(x^2 + 2x - 16)\) có nghiệm duy nhất \(x = 4\).


**c)** Hàm số \(g(x) = -x^2 + f(x)\). \(\ln 1024\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 1\).


**d)** Đường thẳng \(y = x - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại duy nhất một điểm.

**Câu 2:** Lớp 12A có 40 học sinh, trong đó có 8 em tham gia Câu lạc bộ Toán học. Điểm thi học kỳ 1 môn Toán của cả lớp được thống kê trong bảng sau:

Nhóm	[5; 6)	[6; 7)	[7; S)	[S; 9)	[9; 10]
Tần số	2	3	S	15	12

**a)** Khoảng biến thiên mẫu số liệu là 5.


**b)** Có ít nhất 13 học sinh có điểm thi thấp hơn điểm trung bình của cả lớp.


**c)** Biết rằng cả 8 học sinh trong Câu lạc bộ Toán học đều có điểm thi không dưới S. Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong lớp có điểm thi lớn hơn hoặc bằng S. Xác suất có đúng 2 em của Câu lạc bộ Toán học được chọn nhỏ hơn \(\frac{1}{3}\).


**d)** Biết S học sinh trong Câu lạc bộ Toán học gồm có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Trong buổi lễ tuyên dương khen thưởng, S học sinh trong Câu lạc bộ Toán học được sắp xếp ngẫu nhiên thành một hàng


ngang để trao quà. Xác suất không có hai học nữ nào đứng cạnh nhau lớn hơn \(\frac{1}{3}\).

**Câu 3:** Những ngày giáp Tết Nguyên Đán cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, bà con nông dân tích cực xuống đồng cấy lúa. Cây lúa sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng đẻ nhánh và phát triển chiều cao trước khi làm đòng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều cao 20 cm có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho bởi hàm số \(v(t) = -0,1t^3 + 1,1t^2\), trong đó \(t\) tính theo tuần, \(v(t)\) tính bằng cm/tuần.


Gọi \(h(t)\) là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ \(t\) (\(t \ge 0\)).


\[
\textbf{a)} h(t) = -\frac{1}{40} t^4 + \frac{11}{30} t^3 + 20.
\]





**b)** Giai đoạn tăng trưởng chiều cao của cây lúa kéo dài 12 tuần.


**c)** Chiều cao tối đa của cây lúa là 150 cm.


**d)** Vào thời điểm cây lúa phát triển nhanh nhất, chiều cao của cây đã lớn hơn 50 cm.

**Câu 4:** Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A(5; 3; 4)\), \(B(1; 2; 1)\), \(C(8; -3; 2)\). Gọi \(D(a; b; c)\) là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\).


\[
\textbf{a)} Trọng tâm của tam giác \(ABC\) có tọa độ \(G\left(\frac{14}{3}; \frac{2}{3}; \frac{7}{3}\right)\).
\]


**b)** \(BC = 5\sqrt{2}\).


**c)** Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông.


**d)** Giá trị \(a + 2b + 3c\) là một số nguyên.

**Câu 1:** Đầu năm mới 2025, công ty \(A\) vừa kí được một hợp đồng sản xuất và cung cấp linh kiện theo đơn đặt hàng của nhà máy \(B\). Theo hợp đồng nhà máy \(B\) mua không quá 1500 linh kiện, nếu số lượng đặt hàng là \(x\) thì giá bán mỗi linh kiện là \(p(x) = 40000 - 0,01x^2\) đồng. Chi phí để công ty sản xuất \(x\) linh kiện là \(C(x) = 10000000 + 10000x\) đồng. Hỏi công ty \(A\) nên sản xuất và cung cấp bao nhiêu linh kiện cho nhà máy \(B\) để thu được lợi nhuận lớn nhất?

**Câu 2:** Chào đón năm mới 2025, Thành phố trang trí đèn led cho biểu tượng hình chữ \(V\) được ghép từ các thanh \(AB = 4m\), \(AC = 5m\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Để tăng hiệu ứng, các kỹ sư đã thiết kế một chuỗi led chạy từ \(B\) xuống \(A\) với vận tốc 4 m/phút và một chuỗi led chạy từ \(A\) lên \(C\) với vận tốc 10 m/phút. Sau khi đóng nguồn điện thì cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát. Hỏi sau bao nhiêu giây từ thời điểm đóng nguồn điện thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất?

**Câu 3:** Ở một vịnh biển, ngoài xa có một hòn đào nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị với hòn đào để phát triển du lịch. Xét trong hệ tọa độ \(Oxy\) với đơn vị tương ứng 1 km có hòn đào ở \(O\) thì đường bao của phần đất lấn


\[ \text{biển có dạng là một phần của đồ thị hàm số } y = \frac{x^2 + 1}{x}. \]


Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đào với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài của tuyến cáp treo là bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?


**Câu 4:** Tìm số nguyên dương \(n\) sao cho \(1.C_{2n}^1 + 2.C_{2n}^2 + 3.C_{2n}^3 + \cdots + n.C_{2n}^n = 2^{8c}\).

**Câu 5:** Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật \(ABCDOMNK\) có chiều dài 1200 cm, chiều rộng 900 cm, chiều cao 450 cm. Phần mái nhà dạng hình chóp \(SABCD\) có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc \(\alpha\) có \(\tan \alpha = \frac{1}{5}\).


Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) sao cho \(M\) thuộc tia \(Ox\), \(K\) thuộc tia \(Oy\), \(A\) thuộc tia \(Oz\) (như hình vẽ). Biết \(S(a; b; c)\) (đơn vị của \(a, b, c\) là centimet). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b + c\).


**Câu 6:** Để tạo một kiện hàng dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, người ta dùng các thanh gỗ ghép khít đóng lại với nhau. Biết rằng, dung tích kiện hàng bằng \(9m^3\) và giá thành \(1m^2\) gỗ sử dụng là \(200000\) đồng. Hỏi sau khi hoàn thành kiện hàng đó, người ta cần bỏ ra ít nhất bao nhiêu triệu đồng? (diện tích các mép giữa hai mặt kề nhau không đáng kể).





--- Hết ---