Đề đánh giá năng lực HSA Toán học số 38 - Làm bài thi

1

Câu 1:

Cho hàm số \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số
\(g(x) = f(1-2x) + x^2 - x\) nghịch biến trên khoảng nào?

![](images/0.jpg)

A. \((-1;1)\)

B. \(\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right)\)

C. \((0;3)\)

D. \(\left(-1; \frac{1}{2}\right)\). Đáp án đúng là B Phương pháp giải Khảo sát và đánh giá Lời giải Xét hàm số \(g(x) = f(1-2x) + x^2 - x\) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\) Đạo hàm: \(g'(x) = -2f'(1-2x) + 2x - 1\) Để hàm số \(g(x)\) nghịch biến \[ \Leftrightarrow g'(x) \le 0 \Leftrightarrow -2f'(1-2x) + 2x - 1 \le 0 \Leftrightarrow f'(1-2x) \ge -\frac{1}{2}(1-2x) \quad (*) \] Đặt: \(t = 1-2x, t \in \mathbb{R}\), Bất phương trình (*) trở thành: \(f'(t) \ge -\frac{1}{2}t\) ![](images/0.jpg) Từ đồ thị ta có: \(f'(t) \ge -\frac{1}{2}t \Leftrightarrow \begin{cases} -2 \le t \le 0 \\ t \ge 4 \end{cases}\) Do đó: \(g'(x) \le 0 \Leftrightarrow \begin{cases} -2 \le 1 - 2x \le 0 \\ 1 - 2x \ge 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2} \\ x \le -\frac{3}{2} \end{cases}\) Vậy hàm số \(y = g(x)\) nghịch biến trên \(\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right)\) và \(\left(-\infty; -\frac{3}{2}\right)\)

2

Câu 2:

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'(x)\) thoả mãn \(f'(x) = (1 - x^2)(x - 5)\). Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số \(g(x) = 3f(x + 3) - x^3 + 12x\).

A. \((-\infty; -3)\)

B. \((-4; -2)\)

C. \((1; 2)\)

D. \((0; +\infty)\). Đáp án đúng là B Phương pháp giải Khảo sát và đánh giá Lời giải Xét hàm số: \(g(x) = 3f(x + 3) - x^3 + 1 2x\) Có: \(g'(x) = 3.f'(x + 3) - 3x^2\) \[ \Rightarrow g'(x) = 3 \left[ 1 - (x + 3)^2 \right] (x + 3 - 5) = 3 \left( 1 - x^2 - 6x - 9 \right) (x - 2) \] \[= 3(-x^2 - 6x - 8)(x - 2)\] \[g'(x) = 0 \Rightarrow \begin{cases} x - 2 = 0 \\ -x^2 - 6x - 8 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ x = -2 \\ x = -4 \end{cases}\] Bảng biến thiên của hàm số \(g(x)\) ![](images/0.jpg) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y = g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-4; -2)\) và \((2; +\infty)\)

3

## Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số: \(y = \frac{\sin x - 2}{\sin x - m}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0; \frac{\pi}{6}\right)\)?

A. \(m \in (-\infty; 0)\). B. \(m \in (-\infty; 2)\). C. \(m \in \left[\frac{1}{2}; 2\right)\). D. \(m \in (-\infty; 0] \cup \left[\frac{1}{2}; 2\right)\).

## Đáp án đúng là D

### Phương pháp giải

Đặt \(\sin x = t\), khảo sát hàm \(f(t)\)

### Lời giải

Đặt \(\sin x = t\)

\[x \in \left(0; \frac{\pi}{6}\right) \Rightarrow t \in \left(0; \frac{1}{2}\right)\]

Yêu cầu bài toán tương ứng với tìm điều kiện của \(m\) để hàm số \(f(t) = \frac{t-2}{t-m}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0; \frac{1}{2}\right)\). Xét hàm số: \(f(t) = \frac{t-2}{t-m}\). Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0; \frac{1}{2}\middle| t\right)\) thì:

\[
\begin{cases}
f'(t) > 0 \\
m \notin \left(0; \frac{1}{2}\right)
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
-m + 2 > 0 \\
m \leq 0 \\
m \geq \frac{1}{2}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
m < 2 \\
m \leq 0 \\
m \geq \frac{1}{2}
\end{cases} \iff m \in (-\infty; 0] \cup \left[\frac{1}{2}; 2\right)
\]

A. \(m \in (-\infty; 0)\)

B. \(m \in (-\infty; 2)\)

C. \(m \in \left[\frac{1}{2}; 2\right)\)

D. \(m \in (-\infty; 0] \cup \left[\frac{1}{2}; 2\right)\). ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Đặt \(\sin x = t\), khảo sát hàm \(f(t)\) ### Lời giải Đặt \(\sin x = t\) \[x \in \left(0; \frac{\pi}{6}\right) \Rightarrow t \in \left(0; \frac{1}{2}\right)\] Yêu cầu bài toán tương ứng với tìm điều kiện của \(m\) để hàm số \(f(t) = \frac{t-2}{t-m}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0; \frac{1}{2}\right)\). Xét hàm số: \(f(t) = \frac{t-2}{t-m}\). Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0; \frac{1}{2}\middle| t\right)\) thì: \[ \begin{cases} f'(t) > 0 \\ m \notin \left(0; \frac{1}{2}\right) \end{cases} \iff \begin{cases} -m + 2 > 0 \\ m \leq 0 \\ m \geq \frac{1}{2} \end{cases} \iff \begin{cases} m < 2 \\ m \leq 0 \\ m \geq \frac{1}{2} \end{cases} \iff m \in (-\infty; 0] \cup \left[\frac{1}{2}; 2\right) \]

4

Câu 4:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) không lớn hơn 10 để hàm số: \(y = |x^3 - 3x^2 + m - 4|\) đồng biến trên khoảng \((3;+\infty)\)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + m - 4\), từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y = |x^3 - 3x^2 + m - 4|\).

Lời giải

Xét hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + m - 4\)

Ta có: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\), \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow
\begin{cases}
x = 0 \\
x = 2
\end{cases}\)

Bảng biến thiên của hàm số \(y = x^3 - 3x^ 2 + m - 4\)

![](images/0.jpg)

Vì đồ thị hàm số \(y = |f(x)|\) có được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) ở phía trên trục hoành, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị ở phía dưới lên trên qua trục Ox.

Vậy hàm số \(y = |f(x)|\) đồng biến trên \((3;+\infty) \Leftrightarrow f(3) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m - 4 \ge 0 \)

\( \Leftrightarrow m \ge 4 \)

Kết hợp với điều kiện của bài ta có: \(m \in [4;10) \Rightarrow m \in \{4;5;6;7;8;9;10\}\)

5

Câu 5:

Cho đồ thị hàm số: \(y = ax^3 + bx^2 + c\) có hai điểm cực trị là \(A(0;1)\) và \(B(-1;2)\). Tính tổng \(a+b+c\)?
(nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Lập hệ phương trình

Lời giải

Xét hàm số: \(y = ax^3 + bx^2 + c\)

Ta có: \(y' = 3ax^2 + 2bx\)

Theo bài: Hai điểm \(A(0;1)\) và \(B(-1;2)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = ax^3 + bx^2 + c \Rightarrow x = 0\) và \(x = -1\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\)

\( \Rightarrow 3a - 2b = 0 (1) \)

Vì \(A(0;1)\) và \(B(-1;2)\) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = ax^3 + bx^2 + c\) nên ta có:

\[ \begin{cases} a.0^3 + b.0^2 + c = 1 \\ -a + b + c = 2 \end{cases} \quad (2) \]

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases} 3a - 2b = 0 \\ c = 1 \\ -a + b + c = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c = 1 \\ a = 2 \\ b = 3 \end{cases} \]

Vậy: \(a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6\)

6

Câu 6:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = mx^3 - (2m-1)x^2 + 2mx - m - 1\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

A. 2

B. 3

C. 0

D. 5. Đáp án đúng là B Phương pháp giải Chia các trường hợp của \(m\). Đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi phương trình \(f(x) = 0\) có ba nghiệm phân biệt Lời giải Trường hợp 1: \(m = 0\) Thay \(m = 0\) vào phương trình hàm số ta có: \(y = x^2 - 1\) Xét hàm số: \(y = x^2 - 1\) \[y' = 2x, y' = 0 \Rightarrow x = 0\] Hàm số \(y = x^2 - 1\) có 1 cực trị \(x = 0\) nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán Trường hợp 2: \(m \neq 0\) Xét hàm số: \(y = mx^3 - (2m-1)x^2 + 2mx - m - 1\) Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình \[mx^3 - (2m-1)x^2 + 2mx - m - 0 = 0 \quad (*) \text{ có ba nghiệm phân biệt.}\] Ta có: \(mx^3 - (2m-1)x^2 + 2mx - m -1 = 0\) \[\Leftrightarrow mx^3 - 2mx^2 + x^2 + 2mx - m - 1 = 0\] \[\Leftrightarrow m(x^3 - 2x^2 + 2x - 1) + x^2 - 1 = 0\] \[\Leftrightarrow m(x-1)(x^2-x+1) + (x+1)(x-1) = 0\] \[\Leftrightarrow (x-1)[mx^2 - mx + m + x + 1] = 0\] \[\Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ mx^2 - (m-1)x + m + 1 = 0 \end{cases}\] Để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình \(mx^2 - (m-1)x + m + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x \neq 1\) \[\Rightarrow \begin{cases} \Delta > 0 \\ m.1^2 - (m-1).1 + 1 + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (m-1)^2 - 4m(m+1) > 0 \\ 3 \neq 0 \end{cases}\] \[ \Rightarrow -3m^2 - 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3} < m < \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3} \] Vì \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{-2; -1; 0\}\)

7

## Câu 7:

Tập nghiệm của bất phương trình \((16^x - 65.4^x + 64)\sqrt{2 - \log_3(x+3)} \le 0\) có tất cả bao nhiêu số nguyên dương?

A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.

## Đáp án đúng là B

### Phương pháp giải

#### Lời giải

Điều kiện xác định \(\begin{cases} 2 - \log_3(x+3) \ge 0 \\ x+3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow -3 < x \le 6\)

Bất phương trình tương đương:

\[ \begin{cases} 16^x - 65.4^x + 64 \le 0 \\ 2 - \log_3(x+3) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 \le 4^x \le 64 \\ x = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 \le x \le 3 \\ x = 6 \end{cases} \]

Kết hợp với điều kiện xác định ta được: \(0 \le x \le 3\).

Vậy có 3 số nguyên dương thoả mãn yêu cầu bài toán.

A. 5

B. 3

C. 4

D. 2. ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải #### Lời giải Điều kiện xác định \(\begin{cases} 2 - \log_3(x+3) \ge 0 \\ x+3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow -3 < x \le 6\) Bất phương trình tương đương: \[ \begin{cases} 16^x - 65.4^x + 64 \le 0 \\ 2 - \log_3(x+3) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 \le 4^x \le 64 \\ x = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 \le x \le 3 \\ x = 6 \end{cases} \] Kết hợp với điều kiện xác định ta được: \(0 \le x \le 3\). Vậy có 3 số nguyên dương thoả mãn yêu cầu bài toán

8

## Câu 8:

Cho hàm số: \(y = x^3 - 3x^2 + 3(1 - m^2)x + 1\). Có bao nhiêu số nguyên \(m \in [1; 2024]\) để hàm số có hai điểm cực trị?. (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

### Đáp án đúng là "2024"

### Phương pháp giải

Hàm số có hai cực trị \(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

#### Lời giải

Xét hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 3(1 - m^{2})x + 1\)

Ta có: \(y' = 3x^2 - 6x + 3(1 - m^2)\)

\[y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 6x + 3(1 - m^2) = 0\]

Để hàm số có hai cực trị \(\Rightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\[\Rightarrow \Delta' > 0\]

\[\Rightarrow 3^2 - 3.3.(1 - m^2) > 0\]

\[\Leftrightarrow 9 - 9 + 9m^2 > 0 \Leftrightarrow 9m^2 > 0 \Rightarrow m \neq 0\]

Kết hợp với yêu cầu bài toán \(m \in [1; 2024] \Rightarrow\) Có 2024 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

9

## Câu 9:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

![](images/0.jpg)

Có bao nhiêu cặp số nguyên \((m; n)\) để phương trình \(|f(x) - m| = 2n\) có đúng 5 nghiệm? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

![](images/1.jpg)

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Lời giải

Nếu \(2n < 0\) thì phương trình vô nghiệm (loại)

Nếu \(n = 0 \Rightarrow f(x) = m\) có tối đa 3 nghiệm (loại)

\[Nếu \ n > 0 \Rightarrow |f(x) - m| = 2n \Leftrightarrow \begin{bmatrix} f(x) - m = 2n \\ f(x) - m = -2n \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} f(x) = m + 2n \ (1) \\ f(x) = m - 2n \ (2) \end{bmatrix}\]

Đường thẳng \(y = m + 2n\) song song và nằm phía trên đường thẳng \(y = m - 2n\).

Vì vậy phương trình có đúng 5 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình (2) có 3 nghiệm hoặc ngược lại.

\[\Leftrightarrow \begin{cases} m + 2n = 11 \\ -5 < m - 2n < 11 \\ -5 < m + 2n < 11 \\ m - 2n = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = 11 - 2n \\ -5 < (11 - 2n) - 2n < 11 \\ -5 < (2n - 5) + 2n < 11 \\ m = 2n - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = 11 - 2 n \\ 0 < n < 4 \\ 0 < n < 4 \\ m = 2n - 5 \end{cases}\]

\[\Rightarrow (m; n) = (9; 1); (7; 2); (5; 3); (-3; 1); (-1; 2); (1; 3)\]

Vậy có 6 cặp số nguyên \((m; n)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

10

## Câu 10:

Cho \(x^2; \frac{1}{2}; y^2\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Gọi \(M, m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt{3}xy + y^2\). Tính \(S = M + m\)

A. 1

B. 3

C. \(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\)

D. 2. ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Sử dụng tính chất của cấp số cộng. Đặt \(x = \sin t, y = \cos t\) ### Lời giải Do \(x^2; \frac{1}{2}; y^2\) theo thứ tư lập thành một cấp số cộng nên \(x^2 + y^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 1\) (1) Đặt \(x = \sin t, y = \cos t, t \in \mathbb{R}\) \[\Rightarrow P = \sqrt{3} \sin t \cdot \cos t + \cos^2 t = \frac{\sqrt{3} \sin 3t + \cos 2t + 1}{2} = \sin \left( 2t + \frac{\pi}{3} \right) = P - \frac{1}{2}\] \[\Rightarrow -1 \le P - \frac{1}{2} \le 1 \Rightarrow \frac{-1}{2} \le P \le \frac{3}{2}\] \[ \text{Ta có: } M = \frac{3}{2} \text{ khi } \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = 1 \text{ mà } m = \frac{-1}{2} \text{ khi } \sin\left(2t + \frac{\pi}3\right) = -1 \] Vậy \(S = M + m = 1\)

11

## Câu 11:

Cho hàm số: \(y = f(x) = x^3 - 3x + 1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình
\[ f(\sin x + 1) = m \] có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right]\)? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

## Đáp án đúng là "1"

### Phương pháp giải

Thay \(x = \sin x + 1\) vào hàm số \(y = f(x) = x^3 - 3x + 1\). Khảo sát hàm vừa nhận được

### Lời giải

Xét hàm số \(g(x) = f(\sin x + 1) = (\sin x + 1)^3 - 3(\sin x + 1) + 1 = \sin^3 x + 3\sin^2 x - 1\)

Ta có: \(g'(x) = 3\sin^2 x \cos x + 6\sin x \cos x = 3\sin x \cos x (\sin x + 2)\).

Với \(x \in \left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right]\) thì \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{-\pi; \frac{-\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2}; \pi; \frac{3\pi}{2}\right\}\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g(x)\) như sau:

![](images/0.jpg)

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \(f(\sin x + 1) = m\) có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[-\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) khi \(-1 < m < 1\) mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 0\)

12

## Câu 12:

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = |x^3 - 3x + m|\) trên đoạn \([0; 2]\) bằng 3. Tập hợp \(S\) có bao nhiêu phần tử? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Đánh giá hoặc khảo sát hàm số \(f(x) = x^3 - 3x + m\)

Lời giải

Xét hàm số \(f(x) = x^3 - 3x + m\) trên đoạn \([0; 2]\). Khi đó: \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \\ x = 1 \end{cases}\)

Vậy \(f(0) = m, f(1) = m - 2, f(2) = m + 2\).

Do đó: \(\max_{[0;2]} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} m + 2; & |m|; |m - 2| \end{array} \right\}\)

\[ \max_{[0;2]} y = |m + 2| \Rightarrow \begin{cases} |m + 2| = 3 \\ |m + 2| \geq |m - 2| \Leftrightarrow |m - 2| \geq |m| \\ |m + 2| \geq |m| \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m \geq 0 \\ m \geq -1 \\ m = 1 \\ m = -5 \end{cases} \]

\[ \max_{[0;2]} y = |m - 2| \Rightarrow \begin{cases} |m - 2| \geq |m + 2| \\ |m - 2| \geq |m| \\ |m - 2| = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m \leq 0 \\ m \leq 1 \\ m = -1 \\ m = 5 \end{cases} \]

\[ \max_{[0;2]} y = |m| \Rightarrow \begin{cases} |m| \geq |m + 2| \\ |m| \geq |m - 2| \Rightarrow |m| \geq |m - 2| \Rightarrow |m| \geq |2| \Rightarrow |m| \geq 0 \\ |m| = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m \leq -1 \\ m \geq 1 \\ m = 3 \\ m = -3 \end{cases} \]

Vậy tập hợp \(S\) có hai phần tử là \(m = 1, m = -1\)

13

Câu 13:

Cho hàm số \(y = \frac{2x-1}{x-1}\) có đồ thị \((C)\). Tiếp tuyến tại điểm \(M(a;b) \in (C), a > 0\) tạo với hai tiệm cận của \((C)\) một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng \(\sqrt{2}\). Giá trị của \(a+2b\) bằng?

A. 2

B. 4

C. 8

D. 5. Đáp án đúng là C Phương pháp giải Lời giải Gọi \(A, B\) là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và \(I\) là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do \(\Delta IAB\) vuông tại \(I\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IAB\) là \[R = \frac{1}{2} AB = \sqrt{2} \Leftrightarrow AB = 2\sqrt{2}\] Ta có: \(IA.IB = 4, AB = \sqrt{IA^2 + IB^2} \geq \sqrt{2IA.IB} = 2\sqrt{2}\) Dấu “=” xảy ra khi \(IA = IB\). Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến \(k = \pm 1\) Mặt khác \(k = y'(a) = \frac{-1}{(a-1)^2} < 0 \Rightarrow k = -1\). Ta có: \(\frac{-1}{(a-1)^2} = -1 \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0 \\ a = 2 \end{cases}\) Do \(a > 0 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = 3\) Vậy \(a + 2b = 8\)

14

Câu 14:

Một sợi dây có chiều dài là 6m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất?

A. \(\frac{18}{9+4\sqrt{3}}(m)\)

B. \(\frac{36\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}(m)\)

C. \(\frac{12}{4+\sqrt{3}}(m)\)

D. \(\frac{18\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}(m)\). Đáp án đúng là A Phương pháp giải Lập hàm và khảo sát hàm, tìm GTNN của hàm ## Lời giải Gọi độ dài cạnh hình tam giác đều là \(x(m)\), khi đó độ dài cạnh hình vuông là \(\frac{6-3x}{4}\) Tổng diện tích khi đó là: \[S = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \left(\frac{6-3x}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \left[(9+4\sqrt{3})x^2 - 36x + 36\right]\] Xét hàm số \(y = \frac{1}{16} \left[(9+4\sqrt{3})x^{2} - 36x + 36\right]\), hàm số là hàm bậc 2 với hệ số \(a = \frac{1}{16} \cdot (9+4\sqrt{3}) > 0\), nên đồ thị có bề lõm hướng xuống dưới \[\Rightarrow \text{ Diện tích nhỏ nhất khi } x = \frac{-b}{2a} = \frac{18}{9+4\sqrt{3}}\]

15

## Câu 15:

Một công ty bất động sản có 70 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ giá 2500000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là bao nhiêu? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "226"

## Phương pháp giải

Lập hàm và khảo sát hàm, tìm giá trị lớn nhất

## Lời giải

Gọi \(x\) (đồng/tháng) là giá cho thuê mới

\[\Rightarrow \text{ Số căn hộ bị bỏ trống là } \frac{x}{100000} \text{ căn hộ}\]

\[\Rightarrow \text{ Số tiền công ty thuê được } T(x) = (2500000 + x) \left( 70 - \frac{x}{100000} \right)\]

Khảo sát hàm số \(T(x)\) trên \((0;+\infty)\)

\[\Rightarrow T'(x) = 45 - \frac{x}{50000} \Rightarrow T'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2250000\]

Bảng biến thiên:

![](images/0.jpg)

Vậy thu nhập cao nhất công ty đạt được trong 1 tháng là 225625000 đồng ≈ 226 triệu đồng

16

Câu 16:

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M(1;-2;1)\), \(A(1;2;-3)\) và đường thẳng \(d: \frac{x+1}{2} = \frac{y-5}{2} = \frac{z}{-1}\). Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M\), vuông góc với đường thẳng \(d\), đồng thời cách điểm \(A\) một khoảng bé nhất.

A. \(\vec{u} = (2;-1;2)\)

B. \(\vec{u} = (2;-1;-2)\)

C. \(\vec{u} = (-2;-1;2)\)

D. \(\vec{u} = (2;1;2)\). Đáp án đúng là A Phương pháp giải Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\) \[ \Delta \subset (P) \Rightarrow d(A,d)_{\text{min}} \Leftrightarrow \vec{u}_\Delta = \left[ \overrightarrow{n_{(P)}}, \overrightarrow{AM}, \overrightarrow{n_{(P)}} \right] \] Lời giải Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuong góc với \(d\) khi đó \(\overrightarrow{n_{(P)}} = \vec{u}_d = (2;2;-1)\). Khi đó \(\Delta \subset (P) \Rightarrow d(A,d)_{\text{min}} \Leftarrow \vec{u}_\Delta = \left[ \overrightarrow{n_{(P)}}, \overrightarrow {AM}, \overrightarrow{n_{(P)}} \right] \] \[ \overrightarrow{AM} = (0;4;-4) \] \[ \Rightarrow \vec{u}_\Delta = \left[ \overrightarrow{n_{(P)}}, \overrightarrow AM, \overrightarrow n_{(P)} \right] = (-24;12;-24) = -12(2;-1;2) \]

17

Câu 17:

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng: \(d: \frac{x+2}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{2}\) và điểm \(M(-2;3;1)\). Xác định

phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P) đạt giá trị lớn nhất?

A. \((P): 2x - z - 4 = 0.\)

B. \((P): 2y - z - 4 = 0.\)

C. \((P): 2y + z - 4 = 0.\)

D. \((P): -2y + z - 4 = 0.\) Đáp án đúng là B Phương pháp giải Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên (P), (d). Khi đó: \(d(M;(P)) = MH \le MK \Rightarrow d(M;(P))_{\text{max}} = MK\) Lời giải Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên \((P)\), (d). Khi đó: \(d(M;(P)) = MH \le MK \Leftrightarrow d(M;(P))_{\text{max}} = MK\) Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua M và chứa đường thẳng d. \[\Rightarrow \begin{cases} \overline{n_{(P)}} \perp \overline{u_d} \\ \overline{n_{(P)}} \perp \overline{n_{(\alpha)}} \end{cases} \Rightarrow \overline{n_{(P)}} = [\overline{u_d}, \overline{MA}] \text{ với } A(-2;1;2) \in d\] \[\Rightarrow \overline{n_{(P)}} = [\overline{u_d}, [\overline{u_d}, \overline{MA}]]\] Mà \(\begin{cases} \overline{u_d} = (-1;1;2) \\ \overline{MA} = (0;-2;1) \end{cases} \Rightarrow \overline{n_{(P)}} = (0;12;-6) = 6(0;2;-1)\) Phương trình mặt phẳng: \((P): 0(x+2)+2(y-1)-(z+2)=0 \Leftrightarrow 2y-z-4=0\)

18

Câu 18:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = x^3 - 6x^2 + mx + 1\) đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\)

A. \(m \in (3;+\infty)\)

B. \(m \in [3;+\infty)\)

C. \(m \in (-\infty;3)\)

D. \(m \in (-\infty;3]\). Đáp án đúng là B Phương pháp giải Lời giải \[Xét \ y = x^3 - 6x^2 + mx + 1\] \[y' = 3x^2 - 6x + m\] Để hàm số đồng biến trên khoảng \((0; +\infty)\) thì \(y' \ge 0, \forall x \in (0; +\infty)\) \[\Leftrightarrow 3x^2 - 6x + m \ge 0, \forall x \in (0; +\infty)\] \[\Leftrightarrow m \ge -3x^2 + 6x, \forall x \in (0; +\infty)\] Đặt \(f(x) = -3x^2 + 6x \Rightarrow m \ge f(x), \forall x \in (0; +\infty)\) \[\Rightarrow m \ge \max_{[0;+\infty]} f(x)\] \[f'(x) = -6x + 6, f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1\] Bảng biến thiên: ![](images/0.jpg) \[\Rightarrow m \ge 3\]

19

Câu 19:

Gọi \(F(t)\) là số lượng vi khuẩn phát triển sau \(t\) giờ. Biết \(F(t)\) thỏa mãn \(F'(t) = \frac{10000}{1+2t}\) với \(t \ge 0\) và ban đầu có 1000 con vi khuẩn. Hỏi sau \(2h\) số lượng vi khuẩn là bao nhiêu? (Nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án:

Đáp án đúng là "9047"

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất nguyên hàm-tích phân.

Lời giải

\[F(t) = \int F'(t) dt = \int \frac{10000}{1+2t} dt = 5000\ln|1+2t| + C\]

\[F(0) = 1000 \Leftrightarrow 5000\ln|1+2.0| + C = 1000 \Leftrightarrow C = 1000\]

Số lượng vi khuẩn sau 2 giờ là:

\[F(2) = 5000\ln|1+2.2| + 1000 = 5000\ln(5) + 1000 \approx 9047\]

20

## Câu 20:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA=a, SB=b, SC=c\). Một mặt phẳng \((\alpha)\) luôn đi qua trọng tâm của tam giác \(ABC\), cắt các cạnh \(SA, SB, SC\) lần lượt tại \(A', B', C'\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{1}{SA^2} + \frac{1}{SB^2} + \frac{1}{SC^2}\).

A. \(\frac{3}{a^2 + b^2 + c^2}\)

B. \(\frac{\sqrt{2}}{a^2 + b^2 + c^2}\)

C. \(\frac{2}{a^2 + b^2 + c^2}\)

D. \(\frac{9}{a^2 + b^2 + c^2}\). ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy. Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Ta có: \[3SG = SA + SB + SC = \frac{SA}{SA'}SA' + \frac{SB}{SB'}SB' + \frac{SC}{SC'}SC'.\] Mà \(G, A', A', C'\) đồng phẳng nên \(\frac{SA}{SA'} + \frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3 \Leftrightarrow \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} = 3\) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: \[\begin{align*} \left(\frac{1}{SA'^2} + \frac{1}{SB'^2} + \frac{1}{SC'^2}\right)\left(a^2 + b^2 + c^2\right) &\ge \left(\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'}\right)^2 \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{SA'^2} + \frac{1}{SB'^2}+ \frac{1}{SC'^2} &\ge \frac{9}{a^2 + b^2 + c^2} \end{align*}\] Đẳng thức xảy ra khi: \(\frac{1}{aS'A'} = \frac{1}{bSB'} = \frac{1}{cSC'}\), kết hợp với \(\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} \equiv 3\) ta được \[SA' = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3a}, SB' = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3b}, SC' = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3c}\] Vậy GTNN của \(\frac{1}{SA'^2} + \frac{1}{SB'^2}+\frac{1}{SC'^2}\) là \(\frac{9}{a^2 + b^2 + c^2}\)

21

Câu 21:

Người ta trồng một vườn hoa theo hình giới hạn bởi một đường Parabol và nửa đường tròn có bán kính \(\sqrt{2}m\) (phần tô trong hình). Biết rằng: để trồng mỗi \(m^2\) hoa cần ít nhất 250000 đồng, số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu gần bằng?

![](images/0.jpg)

A. 809365

B. 805936

C. 808935

D. 803695. Đáp án đúng là A Phương pháp giải Ứng dụng của tích phân Lời giải Nửa đường tròn \((T)\) có phương trình \(y = \sqrt{2 - x^2}\) Xét parabol \((P)\) có trục đối xứng \(Oy\) nên có phương trình dạng: \(y = ax^2 + c\) \((P)\) cắt \(Oy\) tại điểm \((0; -1)\) nên ta có: \(c = -1\) \((P)\) cắt \((T)\) tại điểm \((1; 1)\) thuộc \((T)\) nên ta được \(a + c = 1 \Rightarrow a = 2\) Phương trình của \((P)\) là: \(y = 2x^2 - 1\) Diện tích miền phẳng \(D\) (tô màu trong hình) là: \[S = \int_{-1}^{1} \left( \sqrt{2 - x^2} - 2x^2 + 1 \right) dx = \int_{-1}^{1} \sqrt{2 - x^2} dx + \int_{-1}^{1} (-2x^2 + 1) dx\] \[I_1 = \int_{-1}^{1} (-2x^2 + 1) dx = \left( -\frac{2}{3}x^3 + x \right)_{-1}^{1} = \frac{2}{3}\] Xét \(I_2 = \int_{-1}^{1} \sqrt{2 - x^2} dx\), đặt \(x = \sqrt{2} \sin t, t \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] \Rightarrow dx = \sqrt{2} \cos t dt\). Đổi cận: \[I_2 = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2 - 2 \sin^2 t} \cdot \sqrt{2 \cos t} dt = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos^2 t dt\] \[= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \cos 2t) dt = \left(t + \frac{1}{2} \sin 2t\right)_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = 1 + \frac{\pi}{2}\] \[\Rightarrow S = I_1 + I_2 = \frac{5}{3} + \frac{\pi}{2} m^2\] Số tiền trồng hoa tối thiểu là: \(250000 \left(\frac{5}{3} + \frac{\pi}{2}\right) \approx 809365\) đồng

22

## Câu 22:

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), tam giác \(A'BC\) đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với \((ABC)\) \(M\) là trung điểm cạnh \(CC'\). Tính \(\cos \alpha\), với \(\alpha\) là góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BM\)

A. \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{22}}{11}\)

B. \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{33}}{11}\)

C. \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{11}}{11}\)

D. \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{22}}{11}\). ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Dùng công thức tích vô hướng giữa hai vecto ### Lời giải ![](images/0.jpg) Ta có: \(AH = A'H = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) và \(AH \perp BC, A'H \perp BC \Rightarrow BC \perp (AA'H) \Rightarrow BC \perp AA'\) hay \(BC \perp BB'\) Do đó: \(BCC'B'\) là hình chữ nhật. Khi đó: \(CC' = AA' = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2} \Rightarrow BM = \sqrt{a^2 + \frac{a^2 \cdot 6}{16}} = a \frac{\sqrt{22}}{4}\) Xét: \(\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AA'} \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CM}) = 0 + AA' \cdot CM = \frac{3a^2}{4}\) \[ \Rightarrow \cos(AA', BM) = \frac{\left| \frac{3a^2}{4} \right|}{\frac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{22}}{4}} = \frac{\sqrt{33}}{11} \]

23

## Câu 23:

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(M(m; 0; 0)\), \(N(0; n; 0)\), \(P(0; 0; p)\) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn \(m^2 + n^2 + p^2 = 3\). Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((MNP)\) bằng?

A. \(\frac{1}{3}\)

B. \(\sqrt{3}\)

C. \(\frac{1}{27}\)

D. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\). ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Xác định phương trình mặt phẳng, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ### Lời giải Do \(M, N, P\) không trùng với gốc tọa độ nên \(m \neq 0, n \neq 0, p \neq 0\). Phương trình mặt phẳng (MNP) là: \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{m}x + \frac{1}{n}y + \frac{1}{p}z - 1 = 0\) \[ \Rightarrow d(O, (MNP)) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2}}} \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \(m^2, n^2, p^2\) và ba số dương \(\frac{1}{m^2}, \frac{1}{n^2}, \frac{1}{p^2}\) ta có: \[ m^2 + n^2 + p^2 \geq 3\sqrt[3]{m^2n^2p^2} \text{ và} \] \[ \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} + p^2 \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{m^2n^2p^2}} \] \[ \Rightarrow (m^2 + n^2 + p^2) \left( \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} \right) \geq 9 \] \[ \Leftrightarrow 3 \left( \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p^2} \right) \geq 9 \] \[ \Rightarrow \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \geq 3 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}} + \frac{1}{p^2} \geq \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^2} + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{p^2}}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}} \] Vậy \(d(O, (MNP)) \leq \frac{1}{\sqrt{3}}\). Dấu xảy ra \(\Leftrightarrow m^2 = n^2 = p^2 = 1\) Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((MNP)\) là \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

24

Câu 24:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(d_1: \frac{x}{-1} = y - 3 = \frac{z + 4}{2}\) và \(d_2: \frac{x - 3}{-2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 4}{-1}\) và mặt phẳng \((\alpha): -x + 3y - 4z - 7 = 0\). Xác định phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\), cắt \(d_1\) và \(d_2\) có phương trình là?

\[ \text{A. } \frac{x-27}{37} = \frac{y+34}{-111} = \frac{z-16}{148}. \]

\[ \text{B. } \frac{x-27}{-37} = \frac{y+34}{-111} = \frac{z+16}{148}. \]

\[C. \frac{x-27}{37} = \frac{y+34}{-111} = \frac{z-16}{-148}.\]

\[D. \frac{x-27}{37} = \frac{y+34}{111} = \frac{z-16}{148}.\]

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng cần tìm và hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\)

Lời giải

\[ \text{Ta có}: d_1 \begin{cases} x = -t_1 \\ y = 3 \\ z = -4 + 2t_1 \end{cases} \text{ và } d_2 \begin{cases} x = 3 - 2t_2 \\ y = 2 + 3t_2 \\ z = 4 - t_2 \end{cases} \]

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta\)

Giả sử đường thẳng \(\Delta\) cắt đường thẳng \(d_1\) và \(d_1\) lần lượt tại \(A\) và \(B\)

\[ \Rightarrow A(-t_1; 3; -4 + 2t_1), B(3 - 2t_2; 2 + 3t_2; 4 - t_2) \]

\[ \Rightarrow \overline{AB} = (3 - 2t_2 + t_1; 3t_2 - 1; 8 - t_2 - 2t_1) \]

Vecto pháp tuyến của \((\alpha)\) là \(\vec{n} = (-1; 3; -4)\)

\[ \text{Do } \overline{AB} \text{ và } \vec{n} \text{ cùng phương nên: } \frac{3 - 2t_2 + t_1}{-1} = \frac{3t_2 - 1}{3} = \frac{8 - t_2 - 2t_1}{-4} \]

\[ \begin{cases} \frac{3 - 2t_2 + t_1}{-1} = 3t_2 - 1 \\ \frac{8 - t_2 - 2t_1}{-4} = 3t_2 - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3t_1 - 3t_2 = -8 \\ -6t_1 + 9t_2 = -20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{-44}{3} \\ t_2 = -12 \end{cases} \]

\[ \Rightarrow A\left(\frac{44}{3}; 3; \frac{-100}{3}\right), B(27; -34; 16) \]

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(B(27; -34; 16)\) và có vecto chỉ phương \(\vec{n} = (37; -11; 148)\) là:

\[ \frac{x-27}{37} = \frac{y+34}{-111} = z-16 \]

A. } \frac{x-27}{37} = \frac{y+34}{-111} = \frac{z-16}{148}. \] \[ \text{

B. } \frac{x-27}{-37} = \frac{y+34}{-111} = \frac{z+16}{148}. \] \[

C. \frac{x-27}{37} = \frac{y+34}{-111} = \frac{z-16}{-148}.\] \[

D. \frac{x-27}{37} = \frac{y+34}{111} = \frac{z-16}{148}.\] Đáp án đúng là A Phương pháp giải Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng cần tìm và hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) Lời giải \[ \text{Ta có}: d_1 \begin{cases} x = -t_1 \\ y = 3 \\ z = -4 + 2t_1 \end{cases} \text{ và } d_2 \begin{cases} x = 3 - 2t_2 \\ y = 2 + 3t_2 \\ z = 4 - t_2 \end{cases} \] Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta\) Giả sử đường thẳng \(\Delta\) cắt đường thẳng \(d_1\) và \(d_1\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) \[ \Rightarrow A(-t_1; 3; -4 + 2t_1), B(3 - 2t_2; 2 + 3t_2; 4 - t_2) \] \[ \Rightarrow \overline{AB} = (3 - 2t_2 + t_1; 3t_2 - 1; 8 - t_2 - 2t_1) \] Vecto pháp tuyến của \((\alpha)\) là \(\vec{n} = (-1; 3; -4)\) \[ \text{Do } \overline{AB} \text{ và } \vec{n} \text{ cùng phương nên: } \frac{3 - 2t_2 + t_1}{-1} = \frac{3t_2 - 1}{3} = \frac{8 - t_2 - 2t_1}{-4} \] \[ \begin{cases} \frac{3 - 2t_2 + t_1}{-1} = 3t_2 - 1 \\ \frac{8 - t_2 - 2t_1}{-4} = 3t_2 - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3t_1 - 3t_2 = -8 \\ -6t_1 + 9t_2 = -20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{-44}{3} \\ t_2 = -12 \end{cases} \] \[ \Rightarrow A\left(\frac{44}{3}; 3; \frac{-100}{3}\right), B(27; -34; 16) \] Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(B(27; -34; 16)\) và có vecto chỉ phương \(\vec{n} = (37; -11; 148)\) là: \[ \frac{x-27}{37} = \frac{y+34}{-111} = z-16 \]

25

Câu 25:

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(-2; 1; 3)\). Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(M\) và cắt các trục \(Ox, Oy, Oz\) tại \(A, B, C\) sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Viết phương trình mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((\alpha)\).

A. \((S): x^2 + y^2 + z^2 = 14\)

B. \((S): x^2 + y^2 + z^2 = 9\)

C. \((S): x^2 + y^2 + z^2 = 11\)

D. \((S): x^2 + y^2 + z^2 = 16\). Đáp án đúng là A Phương pháp giải Lời giải ![](images/0.jpg) Ta có: \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC \Rightarrow OM \perp (ABC)\). Thật vậy: \(\begin{cases} OC \perp OA \\ OC \perp OB \end{cases} \Rightarrow OC \perp AB\) (1) Mà \(CM \perp AB\) (vì \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\)) (2) Từ \((1), (2) \Rightarrow AB \perp (OMC) \Rightarrow AB \perp OM\) (*) Tương tự \(BC \perp (OAH) \Rightarrow BC \perp OM\) (**) Từ (*) và (**) \(\Rightarrow OM \perp (ABC)\) Khi đó mặt cầu tâm \(O\) tiếp xúc mặt phẳng \((ABC)\) có bán kính \(R = OM = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}\) Vậy mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((\alpha)\) là \((S): x^2 + y^2 + z^2 = 14\)

26

Câu 26:

Cho một mạch điện kín gồm nguồn điện có suất điện động \(E(V)\) và điện trở trong \(r(\Omega)\) không thay

đổi; mạch ngoài có biến trở \(R(\Omega)\). Khi đó, công suất tiêu thụ ở mạch ngoài là \(P = \frac{E^2 R}{(R + r)^2}\). Tìm giá trị lớn nhất của công suất tiêu thụ mạch ngoài \(P\).

A. \(\frac{E^2}{4r}(W)\)

B. \(\frac{E^2}{2r}(W)\)

C. \(\frac{2E^2}{r}(W)\)

D. \(\frac{E^2}{8r}(W)\). ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Vẽ bảng biến thiên của hàm số \(P(R) = \frac{E^2 R}{(R + r)^2}\) trên \((0; +\infty)\) rồi dựa vào bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất của \(P\). ### Lời giải Xét hàm số \(P(R) = \frac{E^2 R}{(R + r)^2} \text{ trên } (0; +\infty)\). \[P'(R) = E^2 \frac{(R + r)^2 - 2R(R + r)}{(R + r)^4}\] \[P'(R) = 0 \Leftrightarrow E^2 \frac{(R + r)^2 - 2R(R + r)}{R + r)^4} = 0 \Rightarrow (R + r)^2 - 2R(R + r) = 0\] \[\Rightarrow R^2 - r^2 = 0 \Rightarrow R = r_{(n)} \lor R = -r_{(l)}\] BBT <table><tr><td>R</td><td>0</td><td>r</td><td>+∞</td></tr><tr><td>\(P'(R)\)</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td></tr><tr><td>\(P(R)\)</td><td></td><td>\(E^2\)<br/>4r</td><td></td></tr><tr><td></td><td>0</td><td></td><td>0</td></tr></table> Dựa vào BBT, ta có \(\max_{[0;+\infty)} P(R) = \frac{E^2}{4r}\) đạt được tại \(R = r\)

27

### Câu 27:

Cho phương trình \((\cos x + 1)(4\cos 2x - m\cos x) = m\sin^2 x\). Tập hợp giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc đoạn \(\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]\)?

A. \((-4; 4)\)

B. \((-∞; -4) ∪ (4; +∞)\)

C. \([-4; 4]\)

D. \((-∞; -4] ∪ [4; +∞)\). ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Dựa vào đường tròn lượng giác biện luận số nghiệm ### Lời giải \[ \begin{align*} (\cos x + 1)(4\cos 2x - m\cos x) &= m\sin^2 x \\ \Leftrightarrow (1 + \cos x)(4\cos 2x - m\cos x) - m(1 - \cos x)(1 + \cos x) &= 0 \\ \Leftrightarrow (1 + \cos x)(4\cos 2x - m\cos - m(1 - \cos x)) &= 0 \\ \Leftrightarrow (1 + \cos x)(4\cos 2x + m) &= 0 \\ \Rightarrow \begin{cases} \cos x = -1 \\ \cos 2x = \frac{m}{4} \end{cases} \end{align*} \] \[ \forall i \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] \Rightarrow \text{phương trình } \cos x = -1 \text{ có một nghiệm } x = \pi \] Vậy để phương trình đã cho có đúng một nghiệm trên đoạn \(\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]\) thì phương trình \(\cos 2x = \frac{m}{4}\) vô nghiệm trên đoạn \(\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]\) \[ \forall i \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \Rightarrow 2x \in [\pi; 2\pi]. \] Ta có đường tròn lượng giác: ![](images/0.jpg) Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy phương trình \(\cos 2x = \frac{m}{4}\) vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{m}{4} > 1 \\ \frac{m}{4} < -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 4 \\ m < -4 \end{cases} \]

28

## Câu 28:

Một hội trường có hàng ghế đầu kí hiệu là dãy \(A\) là 30 ghế, sau dãy \(A\) là dãy \(B\) là 32 ghế, và như thế hàng sau sẽ nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Biết hàng cuối cùng có 62 ghế. Gọi \(m\) là tổng số dãy ghế, \(p\) là tổng số ghế. Tính \(m + p\)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

![](images/1.jpg)

## Đáp án đúng là "799"

### Phương pháp giải

Công thức tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng

### Lời giải

Gọi \(n\) là số dãy ghế. Theo bài, ta có:

\[ \begin{cases} S = 30 + 32 + \ldots + 62 = \frac{30 + 62}{2} n = 46n \\ S = \frac{2.30 + (n-1).2}{2} n = (29 + n)n \end{cases} \]

Do đó ta có: \(46n = (29 + n)n \Leftrightarrow n^2 + 29n - 46n = 0 \Leftrightarrow n^2 - 17n = 0 \Rightarrow n = 17\)

Vậy có 17 dãy ghế và \(17.46 = 782\) ghế

29

## Câu 29:

Giả sử 1 quần thể động vật này có tỉ lệ sinh là 12% một năm, xuất cư 2% một năm, tử vong 8% một năm, tỉ lệ nhập cư là 3%. Sau một năm số cá thể của quần thể là 11220 cá thể. Hỏi thời điểm ban đầu quần thể có bao nhiêu cá thể? Làm tròn đến hàng đơn vị. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

### Đáp án đúng là "10095"

#### Phương pháp giải

Tỉ lệ tăng dân số tự nhiên = tỉ lệ sinh+ tỉ lệ nhập cư - tỉ lệ tử vong - tỉ lệ xuất cư

#### Lời giải

Gọi \(n\) là số cá thể ban đầu của quần thể

Sau một năm số lượng cá thể của quần thể là:

\[n(1 + (12\% + 3\% - 8\% - 2\%) = 11220 \Rightarrow n = 10095\]

Vậy ban đầu quần thể có 10095 cá thể

30

## Câu 30:

\[ \text{Cho } \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2ax^2 + 30} - bx - 5}{x^3 - 5x^2 + 8x - 4} = c \text{ với } a, b, c \in \mathbb{R}. \text{ Tính giá trị } P = a + b + c. (\text{nhập đáp án vào ô trống}) \]

Đáp án:

### Đáp án đúng là "65/48"

#### Phương pháp giải

Giới hạn của hàm không xác định \(\frac{0}{0}\)

#### Lời giải

\[ \text{Ta có: } x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = (x - 2)^2 (x - 1) \]

Để khử được dạng \(\frac{0}{0}\), chúng ta cần triệt tiêu được \((x - 2)^2\) ở mẫu

\[ \Rightarrow 2ax^2 + 30 - (bx + 5)^2 = 0 \text{ có nghiệm kép } x = 2 \]

\[ \Leftrightarrow (2a - b^2)x^2 - 10bx + 5 = 0 \text{ có nghiệm kép } x = 2 \]

31

## Câu 31:

Tập nghiệm của bất phương trình \(3^{x^2-13} < 27\) là:

A. \((-4; 4)\)

B. \((-5; -3)\)

C. \([-4; 4]\)

D. \((-2; 2)\) ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải #### Lời giải Ta có: \(3^{x^2-13} < 27 \Leftrightarrow 3^{x^2-13} < 3^3 \Leftrightarrow x^2 - 13 < 3 \Leftrightarrow x^2 < 16 \Leftrightarrow |x| < 4 \Leftrightarrow -4 < x < 4\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = (-4; 4)\)

32

## Câu 32:

Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc \(a(t) = \frac{-1}{24}t^3 + \frac{5}{48}t^2\) (m/s²) trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5s sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu? Biết rằng tại thời điểm ban đầu vận động viên ở tại vị trí xuất phát

A. \(v = 5,61\) m/s B. \(v = 6,51\) m/s C. \(v = 7,61\) m/s D. \(v = 7,51\) m/s

## Đáp án đúng là B

### Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân

### Lời giải

Ta có:

\[v(t) = \int a(t) dt = \int \left(\frac{-1}{24}t^3 + \frac{5}{16}t^2\right) dt = \frac{-1}{96}t^4 + \frac{5}{48}t^3 + C\]

Tại thời điểm ban đầu vận động viên ở vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là:

\[v_0 = 0 \Rightarrow v(0) = 0 \Rightarrow c = 0\]

Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian \(t\) là: \(v(t) = \frac{-1}{96}t^4 + \frac{5}{48}t^2\)

Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là 6,51 m/s

A. \(v = 5,61\) m/s

B. \(v = 6,51\) m/s

C. \(v = 7,61\) m/s

D. \(v = 7,51\) m/s ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Ứng dụng tích phân ### Lời giải Ta có: \[v(t) = \int a(t) dt = \int \left(\frac{-1}{24}t^3 + \frac{5}{16}t^2\right) dt = \frac{-1}{96}t^4 + \frac{5}{48}t^3 + C\] Tại thời điểm ban đầu vận động viên ở vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là: \[v_0 = 0 \Rightarrow v(0) = 0 \Rightarrow c = 0\] Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian \(t\) là: \(v(t) = \frac{-1}{96}t^4 + \frac{5}{48}t^2\) Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là 6,51 m/s

33

## Câu 33:

Cho bảng biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 50 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị cm).

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[40;45)	7	7
[45;50)	12	19
[50;55)	9	28
[55;60)	10	38

[60;65)	8	46
[65;70)	4	50

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

A. 6,72

B. 8,63

C. 7,59

D. 6,98. Đáp án đúng là C Phương pháp giải Lời giải Hiệu chỉnh lại bảng mẫu số liệu: <table><tr><td>Nhóm</td><td>Tần số</td><td>Giá trị đại diện</td></tr><tr><td>[40;45)</td><td>7</td><td>42,5</td></tr><tr><td>[45;50)</td><td>12</td><td>47,5</td></tr><tr><td>[50;55)</td><td>9</td><td>52,5</td></tr><tr><td>[55;60)</td><td>10</td><td>57,5</td></tr><tr><td>[60;65)</td><td>8</td><td>62,5</td></tr><tr><td>[65;70)</td><td>4</td><td>67,5</td></tr><tr><td></td><td>n = 50</td><td></td></tr></table> Trung bình cộng của mẫu số liệu trên là: \[ \bar{x} = \frac{42,5.7 + 47,5.12 + 52,5.9 + 57,5.10 + 62,5.8 + 67,5.4}{50} = 53,7 \] Phương sai của mẫu số liệu trên là \[ s^2 = \frac{1}{50} (7.42,5^2 + 12.47,5^2 + 9.52,5^2 + 10.57,5^2 + 62,5^2.8 + 67,5^2.4) - 53,7^2 = 57,56 \] Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là \(s = \sqrt{s^2} \approx 7,59\)

34

Câu 34:

Cho hàm số: \(f(x) = 2025^x - \frac{1}{2025^x}\). Giá trị nguyên lớn nhất của tham số \(m\) để phương trình

\[f(\log_3 3x - m) + f(\log_3 3x) = 0 \text{ có nghiệm } x \in (1; 9)? (\text{Nhập đáp án vào ô trống})\]

Đáp án:
______

Đáp án đúng là "29"

Phương pháp giải

Dùng ứng dụng của hàm số suy ra phương trình có nghiệm duy nhất. Sau đó đặt \(t = \log_3 3x\)

Lời giải

\[Ta có: f(x) = 2025^x - \frac{1}{2025^x} \Leftrightarrow f(x) = 2025^x - 2025^{-x}\]

\[f'(x) = 2025^x \ln 2025 + 2025^{-x} \ln 2025 > 0 \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \text{Hàm số } y = f(x) \text{ đồng biến trên } \mathbb{R}\]

Do \(f(-x) = -f(x) \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \text{hàm số } y = f(x) \text{ là hàm lẻ trên } \mathbb{R}\)

Đặt \(t = \log_3 3x\), điều kiện \(t \in (1; 3)\). Phương trình trở thành:

\[\begin{align} f(t-m) + f(t^3) &= 0 \Leftrightarrow f(t^3) = -f(t-m) \Leftrightarrow f(t^3) = f(m-t) \quad (\text{vì } y = f(x) \text{ là hàm lẻ trên } \mathbb{R} \text{ nên ta có:}) \\ -f(t-m) &= f(m-t) \\ \Rightarrow t^3 &= m-t \Leftrightarrow t^3 + t = m \end{align}\]

Xét hàm số: \(g(t) = t^3 + t\) với \(t \in (1; 3)\), ta có: \(g'(t) = 3t^2 + 1 > 0 \forall t \in (1; 3)\). Mà \(f(t)\) liên tục trên \([1; 3] \Rightarrow g(1) < g(t) < g(3) \forall t \in (1; 3) \Leftrightarrow 1 < g(t) < 30 \forall t \in (1; 3)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x \in (1; 9) \Leftrightarrow 1 < m < 30\)

⇒ Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m là 29

35

Câu 35:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để bất phương trình \(9^{x^2-2} - (m-1).3^{x^2} - m + 4 \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\)?

A. 1

B. 3

C. 5

D. 7. **Đáp án đúng là A** **Phương pháp giải** Ứng dụng hàm số giải bất phương trình **Lời giải** Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\) Đặt \(t = 3^{x^2-2}, (t \ge 1)\), khi đó bất phương trình trở thành: \(t^2 - 9(m-1)t - m + 4 \ge 0\) (*) Với \(t \ge 1\) thì \(t^2 + 9t + 4 - m(9t + 1) \ge 0\) \[ \Leftrightarrow \frac{t^2 + 9t + 4}{9t + 1} \ge m \] Xét hàm số: \(f(t) = \frac{t^2 + 9t + 4}{9t + 1}\) trên \([1; +\infty)\) \[ f'(t) = \frac{9t^2 + 2t - 27}{(9t + 1)^2} \] \[ f'(t) = 0 \Rightarrow \begin{cases} t = \frac{-2\sqrt{61} - 1}{9} \notin [1; +\infty) \\ t = \frac{2\sqrt{61} - 1}{9} \in [1; +\infty) \end{cases} \] Bảng biến thiên: ![](images/0.jpg) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để bất phương trình \(f(t) \ge m\) thì \(m \le \frac{4\sqrt{61} + 79}{81}\) Mà \(m\) nguyên dương nên \(\Rightarrow m = 1\)

36

## Câu 36:

Cho phương trình \(\log_9 x^2 - \log_3 (3x - 1) = -\log_3 m\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4. Đáp án đúng là B Phương pháp giải Ứng dụng hàm số Lời giải Điều kiện: \(x > \frac{1}{3}\). Phương trình tương đương với: \[ \log_3 x - \log_3 (3x-1) = -\log_3 m \Leftrightarrow \log_3 \frac{3x-1}{x} = \log_3 m \Leftrightarrow m = \frac{3x-1}{x} = f(x) \] \[ Xét f(x) = \frac{3x-1}{x}; x \in \left(\frac{1}{3}; +\infty\right); f'(x) = \frac{1}{x^2} > 0; \forall x \in \left(\frac{1}{3}; +\infty\right) \] Bảng biến thiên ![](images/0.jpg) Để phương trình có nghiệm thì \(m \in (0; 3)\), suy ra có 2 giá trị nguyên thỏa mãn

37

Câu 37:

Chị Hoa có 500 triệu đồng. Chị chia số tiền thành 3 phần và gửi ở các ngân hàng Vietcombank, Agribank và Viettinbank theo phương thức lãi kép. Số tiền ở phần thứ nhất chị Hoa gửi ở ngân hàng Vietcombank với lãi suất 1,9% một quý trong thời gian 18 tháng. Số tiền ở phần thứ hai chị Hoa gửi ở ngân hàng Agribank với lãi suất 0,9% một tháng trong thời gian 12 tháng. Số tiền thứ ba chị gửi ở ngân hàng Viettinbank với lãi suất 2% một quý trong thời gian 12 tháng. Tổng số tiền lãi chị Hoa thu được hai ngân hàng Vietcombank và Agribank là 34,8386842 triệu đồng. Tổng số tiền lãi chị Hoa thu được ở hai ngân hàng Agribank và Viettinbank là 35,78307674 triệu đồng. Hỏi số tiền chị Hoa gửi ở mỗi ngân hàng là bao nhiêu?

A. Vietcombank: 150 triệu, Agribank: 300 triệu, Viettinbank: 50 triệu

B. Vietcombank: 170 triệu, Agribank: 130 triệu, Viettinbank: 200 triệu

C. Vietcombank: 130 triệu, Agribank: 200 triệu, Viettinbank: 170 triệu

D. Vietcombank: 130 triệu, Agribank: 170 triệu, Viettinbank: 200 triệu. ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Dùng công thức lãi kép ### Lời giải Gọi \(x; y; z\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà chị An gửi vào ngân hàng Vietcombank, Agribank, Viettinbank. Số tiền lãi chị Hoa nhận được khi gửi tiền vào ngân hàng Vietcombank là: \[t_1 = x(1+1,9\%)^6 - x \quad (\text{triệu đồng})\] Số tiền lãi chị Hoa nhận được khi gữi tiền vào ngân hàng Agribank là: \[t_2 = y(1+0,9\%)^{12} - y \quad (\text{triệu đồng})\] Số tiền lãi chị Hoa nhận được khi gợi tiền vào ngân hàng Viettinbank là: \(t_3 = z(1+2\%)^4 - z\) (triệu đồng) Khi đó ta có hệ phương trình: \[\begin{cases} x + y + z = 500 \\ x(1+1,9\%)^6 - x + y(1+0,9\%)^{12} - y = 34,8386842 \\ y(1+0,9\%)^{12} - y + z(1+2\%)^4 - z = 35,78307674 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 130 \\ y = 170 \\ z = 200 \end{cases}\]

38

### Câu 38:

Cho hình tứ diện \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều có độ dài cạnh \(AB\) bằng \(a, SA \perp (ABC), SA = a\sqrt{2}\). Điểm \(M\) trên cạnh \(SC\) sao cho \(MC = \frac{1}{2}MS\), mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AB\). Tính diện tích thiết diện của khối chóp tạo bởi mặt phẳng \((\alpha)\)?

\[A. S = \frac{a^2\sqrt{3}}{9}.\]

\[B. S = \frac{2a^2\sqrt{6}}{9}.\]

\[C. S = \frac{a^2\sqrt{6}}{3}.\]

\[D. S = \frac{a^2\sqrt{6}}{9}.\]

### Đáp án đúng là D

### Phương pháp giải

Xác định thiết diện của hình chóp sau đó tính diện tích thiết diện đó

### Lời giải
![](images/0.jpg)

Ta có: \(\begin{cases} SA \perp (ABC) \\ AB \subset (ABC) \end{cases} \Rightarrow SA \perp AB\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB, \Delta ABC\) đều \(\Rightarrow CI \perp AB\)

Từ \(M\) kẻ \(MN // SA, N \in AC \Rightarrow MN \perp AB\)

\[ \Rightarrow (\alpha) \cap (SAC) = MN \]

Trong mặt phẳng \((ABC)\) kẻ \(NP \perp AB, P \in AB\)

\[ \Rightarrow NP \perp AB \Rightarrow NP = (\alpha) \cap (ABC) \]

Trong mặt phẳng \((SAB)\), kẻ \(PQ // SA \Rightarrow PQ \perp AB \Rightarrow PQ = (\alpha) \cap (SAB)\)

Vậy thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng \((\alpha)\) và hình chóp \(S.ABC\) là tứ giác \(MNPQ\)

Tứ giác \(MNPQ\) có \(MN // PQ\) và \(MN \perp NP, PQ \perp NP \Rightarrow\) Tứ giác \(MNPQ\) là hình thang vuông

Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(SAC\) có \(MN // SA\) :

\[ \frac{MC}{SC} = \frac{NC}{NA} = \frac{MN}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{1}{3} SA = \frac{a\sqrt{2}}{3} \]

Tương tự trong tam giác \(AIC\) có \(IC // NP\) :

\[ \frac{AP}{AI} = \frac{AN}{AC} = \frac{PN}{IC} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{PN}{IC} = \frac{2}{3} \Rightarrow PN = \frac{2}{3} IC \]

\[ IC \text{ là đường cao trong tam giác đều } \Rightarrow IC = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

\[ \Rightarrow PN = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \]

\[ \text{Trong tam giác } SAB \text{ có } PQ \parallel SA \Rightarrow \frac{PB}{BA} = \frac{BQ}{SB} = \frac{PQ}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{PQ}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow PQ = \frac{1}{3}a\sqrt{2} \]

Vậy diện tích thiết diện cần tìm là:

\[ S = \frac{MN + PQ}{2} \cdot NP = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{3} + \frac{a\sqrt{2}}{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2\sqrt{6}}{9} \]

A. S = \frac{a^2\sqrt{3}}{9}.\] \[

B. S = \frac{2a^2\sqrt{6}}{9}.\] \[

C. S = \frac{a^2\sqrt{6}}{3}.\] \[

D. S = \frac{a^2\sqrt{6}}{9}.\] ### Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Xác định thiết diện của hình chóp sau đó tính diện tích thiết diện đó ### Lời giải ![](images/0.jpg) Ta có: \(\begin{cases} SA \perp (ABC) \\ AB \subset (ABC) \end{cases} \Rightarrow SA \perp AB\) Gọi \(I\) là trung điểm \(AB, \Delta ABC\) đều \(\Rightarrow CI \perp AB\) Từ \(M\) kẻ \(MN // SA, N \in AC \Rightarrow MN \perp AB\) \[ \Rightarrow (\alpha) \cap (SAC) = MN \] Trong mặt phẳng \((ABC)\) kẻ \(NP \perp AB, P \in AB\) \[ \Rightarrow NP \perp AB \Rightarrow NP = (\alpha) \cap (ABC) \] Trong mặt phẳng \((SAB)\), kẻ \(PQ // SA \Rightarrow PQ \perp AB \Rightarrow PQ = (\alpha) \cap (SAB)\) Vậy thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng \((\alpha)\) và hình chóp \(S.ABC\) là tứ giác \(MNPQ\) Tứ giác \(MNPQ\) có \(MN // PQ\) và \(MN \perp NP, PQ \perp NP \Rightarrow\) Tứ giác \(MNPQ\) là hình thang vuông Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(SAC\) có \(MN // SA\) : \[ \frac{MC}{SC} = \frac{NC}{NA} = \frac{MN}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{1}{3} SA = \frac{a\sqrt{2}}{3} \] Tương tự trong tam giác \(AIC\) có \(IC // NP\) : \[ \frac{AP}{AI} = \frac{AN}{AC} = \frac{PN}{IC} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{PN}{IC} = \frac{2}{3} \Rightarrow PN = \frac{2}{3} IC \] \[ IC \text{ là đường cao trong tam giác đều } \Rightarrow IC = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] \[ \Rightarrow PN = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] \[ \text{Trong tam giác } SAB \text{ có } PQ \parallel SA \Rightarrow \frac{PB}{BA} = \frac{BQ}{SB} = \frac{PQ}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{PQ}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow PQ = \frac{1}{3}a\sqrt{2} \] Vậy diện tích thiết diện cần tìm là: \[ S = \frac{MN + PQ}{2} \cdot NP = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{3} + \frac{a\sqrt{2}}{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2\sqrt{6}}{9} \]

39

## Câu 39:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2a\), hình chiếu vuông góc của \(S\) lên đáy là trung điểm cạnh \(AB\), \(\widehat{ASB} = 90^\circ\). Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \((SBD)\) bằng?

A. \(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)

B. \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

C. \(\frac{4a\sqrt{3}}{3}\)

D. \(\frac{3a\sqrt{3}}{2}\). Đáp án đúng là A Phương pháp giải Lời giải ![](images/0.jpg) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên đáy \(\Rightarrow SH \perp (ABCD) \Rightarrow SH \perp AB\) Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(S\) có \(SH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến \(\Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại \(S \Rightarrow SH = \frac{1}{2} AB = a\) Gọi \(N\) là trung điểm của cạnh \(CD, HN \cap BD = \{O\}, HC \cap BD = \{I\}\) Ta có \(OH \parallel BC\), theo định lý Thales \(\frac{HI}{IC} = \frac{OH}{BC} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{IH}{IC} = \frac{1}{2}\) Lại có \[HC \cap (SBD) = \{I\} \Rightarrow \frac{d(H;(SBD))}{d(C;(SBD))} = \frac{IH}{IC} = \frac{1}{2} \Rightarrow d(C;(SBD)) = 2d(H;(SBD))\] Trong mặt phẳng \((ABCD)\), từ \(H\) kẻ \(HP \perp BD\) tại \(P\) (1) Do \(SH \perp (ABCD) \Rightarrow SH \perp BD\) (2) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BD \perp (SHP)\) (3). Mặt khác \(BD \subset (SBD)\) (4) Từ (3) và (4) \(\Rightarrow (SHP) \perp (SBD)\) theo giao tuyến \(SP\) Trong mặt phẳng \((SHP)\), hạ \(HQ \perp SP\) tại \(Q \Rightarrow HQ \perp (SBD) \Rightarrow d(H;(SBD)) = HQ\) Xét \(\Delta HPB\) vuông tại \(P\), có \(\sin \widehat{HPB} = \frac{HP}{HB} \Rightarrow HP = HB \sin 45^\circ = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) Xét \(\Delta SHP\) vuông tại \(H\), có đường cao \(HQ \Rightarrow HQ = \frac{HS.HP}{\sqrt{HS^2 + HP^2}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\) \[\Rightarrow d(C;(SBD)) = 2d(H;(SBD)) = 2HQ = \frac{2\sqrt{3}a}{3}.\]

40

Câu 40:

Xác định độ dài tiêu cự của elip \((E)\) có phương trình: \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{7} = 1\)?

A. 8

B. 4

C. 6

D. 10. Đáp án đúng là C Phương pháp giải Lời giải Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt{a^2 - b^2} = 2\sqrt{16 - 7} = 2.3 = 6\)

41

Câu 41:

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt{2}\). Biết góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((SAC)\) bằng \(30^\circ\). Thể tích khối chóp đã cho bằng?

A. \(\frac{3a^2\sqrt{2}}{2}\)

B. \(\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}\)

C. \(\frac{4a^3\sqrt{2}}{3}\)

D. \(\frac{a^3\sqrt{2}}{3}\). Đáp án đúng là B Phương pháp giải Tính thể tích thông thường Lời giải ![](images/0.jpg) Gọi \(O\) là tâm của mặt đáy \(ABCD\). Dễ dàng chứng minh được: Góc giữa \(SD\) và \((SAC)\) là góc \(\widehat{OSD}\). Suy ra \(\widehat{OSD} = 30^\circ\). Đặt \(BC = x(x > 0)\). Ta tính được: \(OA = OD = \frac{x\sqrt{2}}{2}\). Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A: SO = \sqrt{SA^2 + AO^2} = \sqrt{2a^2 + \frac{x^2}{2}}\). Xét \(\Delta SOD\) vuông tại \(O\) \[\tan \widehat{OSD} = \frac{OD}{SO} = \frac{x\sqrt{2}}{2} : \sqrt{2a^2 + \frac{x^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \frac{x\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{2a^2 + \frac{x^2}{2}}\] \[\Leftrightarrow \frac{x^2}{2} = \frac{1}{3} \left( 2a^2 + \frac{x^2}{2} \right) \Leftrightarrow x = a\sqrt{2}.\] Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là: \(V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot a \sqrt{2} \cdot 2a^2 = \frac{2a^3 \sqrt{2}}{3}\)

42

## Câu 42:

Cho \(\tan x = \sqrt{2}\). Xác định giá trị của biểu thức \(P = \frac{\sqrt{2}\sin x - \cos x}{\cos^3 x + \sqrt{2}\sin x \cdot \cos^2 x + \sin^2 x \cdot \cos x}\) (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "3/5"

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác

Lời giải

Xét biểu thức \(P = \frac{\sqrt{2}\sin x - \cos x}{ \cos^3 x + \sqrt{2}\sin x \cdot \cos^2 x+ \sin^2 x \cdot \cos x }\)

Vì \(\tan x\) xác định nên \(\cos x \neq 0\)

Chia cả tử và mẫu cho \(\cos^3 x\) ta được:

\[P = \frac{\sqrt{2} \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{1 + \sqrt{2} \cdot \tan x + \tan^2 x}{1 + \sqrt{2} \cdot \tan x + \tan^2 x}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \tan x \cdot (1 + \tan^2 x) - (1 + \tan^2 x)}{1 + \sqrt{2} \cdot \tan x + \tan^2 x} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot (1 + 2) - (1 + 2)}{1 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 2} = \frac{3}{5}\]

43

## Câu 43:

Cho một đa giác đều có \(n\) đỉnh, với \(n\) lẻ. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều đó. Gọi \(P\) là xác suất sao cho 3 đỉnh đó tạo thành 1 tam giác tù. Biết \(P = \frac{45}{62}\). Số các ước nguyên dương của \(n\) là?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6. **Đáp án đúng là B** **Phương pháp giải** **Lời giải** Do \(n\) là số lẻ nên ta đặt \(n = 2k + 1 (k \in \mathbb{N})\) Số phần tử không gian mẫu \(n(A) = C_{2k+1}^3\) Gọi A: 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác tù Giả sử tam giác \(ABC\) có \(\hat{A}, \hat{B}\) là góc nhọn còn \(\hat{C}\) là góc tù. Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh \(\Rightarrow\) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là \(2k+1\) cách chọn Khi đó còn lại \(2k\) đỉnh, từ điểm được chọn ta chia làm 2, mỗi bên là \(k\) đỉnh Để tạo thành tam giác tù thì 2 đỉnh còn lại phải được chọn từ \(k\) đỉnh cùng thuộc một phía so với điểm đã chọn do đó có \(C_k^2 + C_k^2\) cách chọn Nhưng với cách tính như vậy số tam giác được lặp lại 2 lần nên: \[n(A) = \frac{(C_k^2 + C_k^2)(2k+1)}{2!} = C_k^2(2k+1)\] \[\text{Vậy } P(A) = \frac{C_k^2(2k+1)}{C_{2k+1}^3} = \frac{45}{62}\] \[\Leftrightarrow 62 \frac{k!}{(k-2)! \cdot 2!} (2k+1) = 45 \frac{(2k+1)!}{(2k-2)! \cdot 3!}\] \[\Leftrightarrow 62 \frac{k(k-1)(2k+1)}{2} = 45 \frac{2k \cdot (2k+1)(2k-1)}{6}\] \[\Leftrightarrow 62k^3 - 31k^2 - 31k = 60k^3 - 15k\] Giải phương trình trên ta được \(k = 16\) Vậy \(n = 33\) \[\Rightarrow \text{Các ước nguyên dương của } n \text{ là } \{1; 3; 11; 33\}\]

44

## Câu 44:

Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.

A. 3

B. 2

C. 5

D. 7. Đáp án đúng là B Phương pháp giải Đánh giá Lời giải Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2

45

Câu 45:

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC, BD\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\), \(P\) là 1 điểm bất kì. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức: \(\overrightarrow{PI} = k\left(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}\right)\). (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "1/4"

Phương pháp giải

Phân tích vecto

Lời giải

Vì \(I\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow I\) là trọng tâm tứ diện \(ABCD\)

Khi đó ta có:

\[ \overrightarrow{PI} = \frac{1}{4} \left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} \right) \]

Vậy \(k = \frac{1}{4}\)

Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu hỏi hỏi đủ 46 đến 48.

Có hai lô sản phẩm. Mỗi lô đều có 30 sản phẩm. Lô thứ nhất có 20 sản phẩm tốt, 10 sản phẩm lỗi. Lô thứ hai có 15 sản phẩm tốt, 15 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ra một sản phẩm.

46

Câu 46:

Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt?

A. \(\frac{7}{12}\)

B. \(\frac{1}{4}\)

C. \(\frac{1}{12}\)

D. \(\frac{5}{12}\) Đáp án đúng là A Phương pháp giải Công thức tính xác suất toàn phần ## Lời giải Gọi các biến cố: \(B_1\) "Lô lấy ra là lô I" \(B_2\) "Lô lấy ra là lô II" Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt Ta có: \(P(A) = P(B_1).P(A|B_1) + P(B_2).P(A|B_2)\) \[P(B_1) = \frac{1}{2}, P(B_2) = \frac{1}{2}, P(A|B_1) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}, P(A|B_2) = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}\] Vậy \(P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{12}\)

47

## Câu 47:

Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất để sản phẩm lấy được đó là của lô thứ hai?

A. \(\frac{6}{7}\)

B. \(\frac{3}{5}\)

C. \(\frac{4}{7}\)

D. \(\frac{3}{7}\). ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Công thức Bayes ## Lời giải Gọi các biến cố: <|ref|>text<|/ref|><|det|>[[74, x | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 1 | 0 | 5 | 0 | 0 | 0 | 5 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 | 1 | 0 | 7 | 0 | 0 | 0 | 7 | 0 | 1 | 0 | 8 | 0 | 0 | 0 | 8 | 0 | 1 | 0 | 9 | 0 | 0 | 0 | 9 | 0 | 1 | 0 | 10 | 0 | 0 | 0 | 10 | 0 | 1 | 0 | 11 | 0 | 0 | 0 | 11 | 0 | 1 | 0 | 12 | 0 | 0 | 0 | 12 | 0 | 1 | 0 | 13 | 0 | 0 | 0 | 13 | 0 | 1 | 0 | 14 | 0 | 0 | 0 | 14 | 0 | 1 | 0 | 15 | 0 | 0 | 0 | 15 | 0 | 1 | 0 | 16 | 0 | 0 | 0 | 16 | 0 | 1 | 0 | 17 | 0 | 0 | 0 | 17 | 0 | 1 | 0 | 18 | 0 | 0 | 0 | 18 | 0 | 1 | 0 | 19 | 0 | 0 | 0 | 19 | 0 | 1 | 0 | 20 | 0 | 0 | 0 | 20 | 0 | 1 | 0 | 21 | 0 | 0 | 0 | 21 | 0 | 1 | 0 | 22 | 0 | 0 | 0 | 22 | 0 | 1 | 0 | 23 | 0 | 0 | 0 | 23 | 0 | 1 | 0 | 24 | 0 | 0 | 0 | 24 | 0 | 1 | 0 | 25 | 0 | 0 | 0 | 25 | 0 | 1 | 0 | 26 | 0 | 0 | 0 | 26 | 0 | 1 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 | 27 | 0 | 1 | 0 | 28 | 0 | 0 | 0 | 28 | 0 | 1 | 0 | 29 | 0 | 0 | 0 | 29 | 0 | 1 | 0 | 30 | 0 | 0 | 0 | 30 | 0 | 1 | 0 | 31 | 0 | 0 | 0 | 31 | 0 | 1 | 0 | 32 | 0 | 0 | 0 | 32 | 0 | 1 | 0 | 33 | 0 | 0 | 0 | 33 | 0 | 1 | 0 | 34 | 0 | 0 | 0 | 34 | 0 | 1 | 0 | 35 | 0 | 0 | 0 | 35 | 0 | 1 | 0 | 36 | 0 | 0 | 0 | 36 | 0 | 1 | 0 | 37 | 0 | 0 | 0 | 37 | 0 | 1 | 0 | 38 | 0 | 0 | 0 | 38 | 0 | 1 | 0 | 39 | 0 | 0 | 0 | 39 | 0 | 1 | 0 | 40 | 0 | 0 | 0 | 40 | 0 | 1 | 0 | 41 | 0 | 0 | 0 | 41 | 0 | 1 | 0 | 42 | 0 | 0 | 0 | 42 | 0 | 1 | 0 | 43 | 0 | 0 | 0 | 43 | 0 | 1 | 0 | 44 | 0 | 0 | 0 | 44 | 0 | 1 | 0 | 45 | 0 | 0 | 0 | 45 | 0 | 1 | 0 | 46 | 0 | 0 | 0 | 46 | 0 | 1 | 0 | 47 | 0 | 0 | 0 | 47 | 0 | 1 | 0 | 48 | 0 | 0 | 0 | 48 | 0 | 1 | 0 | 49 | 0 | 0 | 0 | 49 | 0 | 1 | 0 | 50 | 0 | 0 | 0 | 50 | 0 | 1 | 0 | 51 | 0 | 0 | 0 | 51 | 0 | 1 | 0 | 52 | 0 | 0 | 0 | 52 | 0 | 1 | 0 | 53 | 0 | 0 | 0 | 53 | 0 | 1 | 0 | 54 | 0 | 0 | 0 | 54 | 0 | 1 | 0 | 55 | 0 | 0 | 0 | 55 | 0 | 1 | 0 | 56 | 0 | 0 | 0 | 56 | 0 | 1 | 0 | 57 | 0 | 0 | 0 | 57 | 0 | 1 | 0 | 58 | 0 | 0 | 0 | 58 | 0 | 1 | 0 | 59 | 0 | 0 | 0 | 59 | 0 | 1 | 0 | 60 | 0 | 0 | 0 | 60 | 0 | 1 | 0 | 61 | 0 | 0 | 0 | 61 | 0 | 1 | 0 | 62 | 0 | 0 | 0 | 62 | 0 | 1 | 0 | 63 | 0 | 0 | 0 | 63 | 0 | 1 | 0 | 64 | 0 | 0 | 0 | 64 | 0 | 1 | 0 | 65 | 0 | 0 | 0 | 65 | 0 | 1 | 0 | 66 | 0 | 0 | 0 | 66 | 0 | 1 | 0 | 67 | 0 | 0 | 0 | 67 | 0 | 1 | 0 | 68 | 0 | 0 | 0 | 68 | 0 | 1 | 0 | 69 | 0 | 0 | 0 | 69 | 0 | 1 | 0 | 70 | 0 | 0 | 0 | 70 | 0 | 1 | 0 | 71 | 0 | 0 | 0 | 71 | 0 | 1 | 0 | 72 | 0 | 0 | 0 | 72 | 0 | 1 | 0 | 73 | 0 | 0 | 0 | 73 | 0 | 1 | 0 | 74 | 0 | 0 | 0 | 74 | 0 | 1 | 0 | 75 | 0 | 0 | 0 | 75 | 0 | 1 | 0 | 76 | 0 | 0 | 0 | 76 | 0 | 1 | 0 | 77 | 0 | 0 | 0 | 77 | 0 | 1 | 0 | 78 | 0 | 0 | 0 | 78 | 0 | 1 | 0 | 79 | 0 | 0 | 0 | 79 | 0 | 1 | 0 | 80 | 0 | 0 | 0 | 80 | 0 | 1 | 0 | 81 | 0 | 0 | 0 | 81 | 0 | 1 | 0 | 82 | 0 | 0 | 0 | 82 | 0 | 1 | 0 | 83 | 0 | 0 | 0 | 83 | 0 | 1 | 0 | 84 | 0 | 0 | 0 | 84 | 0 | 1 | 0 | 85 | 0 | 0 | 0 | 85 | 0 | 1 | 0 | 86 | 0 | 0 | 0 | 86 | 0 | 1 | 0 | 87 | 0 | 0 | 0 | 87 | 0 | 1 | 0 | 88 | 0 | 0 | 0 | 88 | 0 | 1 | 0 | 89 | 0 | 0 | 0 | 89 | 0 | 1 | 0 | 90 | 0 | 0 | 0 | 90 | 0 | 1 | 0 | 91 | 0 | 0 | 0 | 91 | 0 | 1 | 0 | 92 | 0 | 0 | 0 | 92 | 0 | 1 | 0 | 93 | 0 | 0 | 0 | 93 | 0 | 1 | 0 | 94 | 0 | 0 | 0 | 94 | 0 | 1 | 0 | 95 | 0 | 0 | 0 | 95 | 0 | 1 | 0 | 96 | 0 | 0 | 0 | 96 | 0 | 1 | 0 | 97 | 0 | 0 | 0 | 97 | 0 | 1 | 0 | 98 | 0 | 0 | 0 | 98 | 0 | 1 | 0 | 99 | 0 | 0 | 0 | 99 | 0 | 1 | 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 100 | 0 | 1 | 0 | 101 | 0 | 0 | 0 | 101 | 0 | 1 | 0 | 102 | 0 | 0 | 0 | 102 | 0 | 1 | 0 | 103 | 0 | 0 | 0 | 103 | 0 | 1 | 0 | 104 | 0 | 0 | 0 | 104 | 0 | 1 | 0 | 105 | 0 | 0 | 0 | 105 | 0 | 1 | 0 | 106 | 0 | 0 | 0 | 106 | 0 | 1 | 0 | 107 | 0 | 0 | 0 | 107 | 0 | 1 | 0 | 108 | 0 | 0 | 0 | 108 | 0 | 1 | 0 | 109 | 0 | 0 | 0 | 109 | 0 | 1 | 0 | 110 | 0 | 0 | 0 | 110 | 0 | 1 | 0 | 111 | 0 | 0 | 0 | 111 | 0 | 1 | 0 | 112 | 0 | 0 | 0 | 112 | 0 | 1 | 0 | 113 | 0 | 0 | 0 | 113 | 0 | 1 | 0 | 114 | 0 | 0 | 0 | 114 | 0 | 1 | 0 | 115 | 0 | 0 | 0 | 115 | 0 | 1 | 0 | 116 | 0 | 0 | 0 | 116 | 0 | 1 | 0 | 117 | 0 | 0 | 0 | 117 | 0 | 1 | 0 | 118 | 0 | 0 | 0 | 118 | 0 | 1 | 0 | 119 | 0 | 0 | 0 | 119 | 0 | 1 | 0 | 120 | 0 | 0 | 0 | 120 | 0 | 1 | 0 | 121 | 0 | 0 | 0 | 121 | 0 | 1 | 0 | 122 | 0 | 0 | 0 | 122 | 0 | 1 | 0 | 123 | 0 | 0 | 0 | 123 | 0 | 1 | 0 | 124 | 0 | 0 | 0 | 124 | 0 | 1 | 0 | 125 | 0 | 0 | 0 | 125 | 0 | 1 | 0 | 126 | 0 | 0 | 0 | 126 | 0 | 1 | 0 | 127 | 0 | 0 | 0 | 127 | 0 | 1 | 0 | 128 | 0 | 0 | 0 | 128 | 0 | 1 | 0 | 129 | 0 | 0 | 0 | 129 | 0 | 1 | 0 | 130 | 0 | 0 | 0 | 130 | 0 | 1 | 0 | 131 | 0 | 0 | 0 | 131 | 0 | 1 | 0 | 132 | 0 | 0 | 0 | 132 | 0 | 1 | 0 | 133 | 0 | 0 | 0 | 133 | 0 | 1 | 0 | 134 | 0 | 0 | 0 | 134 | 0 | 1 | 0 | 135 | 0 | 0 | 0 | 135 | 0 | 1 | 0 | 136 | 0 | 0 | 0 | 136 | 0 | 1 | 0 | 137 | 0 | 0 | 0 | 137 | 0 | 1 | 0 | 138 | 0 | 0 | 0 | 138 | 0 | 1 | 0 | 139 | 0 | 0 | 0 | 139 | 0 | 1 | 0 | 140 | 0 | 0 | 0 | 140 | 0 | 1 | 0 | 141 | 0 | 0 | 0 | 141 | 0 | 1 | 0 | 142 | 0 | 0 | 0 | 142 | 0 | 1 | 0 | 143 | 0 | 0 | 0 | 143 | 0 | 1 | 0 | 144 | 0 | 0 | 0 | 144 | 0 | 1 | 0 | 145 | 0 | 0 | 0 | 145 | 0 | 1 | 0 | 146 | 0 | 0 | 0 | 146 | 0 | 1 | 0 | 147 | 0 | 0 | 0 | 147 | 0 | 1 | 0 | 148 | 0 | 0 | 0 | 148 | 0 | 1 | 0 | 149 | 0 | 0 | 0 | 149 | 0 | 1 | 0 | 150 | 0 | 0 | 0 | 150 | 0 | 1 | 0 | 151 | 0 | 0 | 0 | 151 | 0 | 1 | 0 | 152 | 0 | 0 | 0 | 152 | 0 | 1 | 0 | 153 | 0 | 0 | 0 | 153 | 0 | 1 | 0 | 154 | 0 | 0 | 0 | 154 | 0 | 1 | 0 | 155 | 0 | 0 | 0 | 155 | 0 | 1 | 0 | 156 | 0 | 0 | 0 | 156 | 0 | 1 | 0 | 157 | 0 | 0 | 0 | 157 | 0 | 1 | 0 | 158 | 0 | 0 | 0 | 158 | 0 | 1 | 0 | 159 | 0 | 0 | 0 | 159 | 0 | 1 | 0 | 160 | 0 | 0 | 0 | 160 | 0 | 1 | 0 | 161 | 0 | 0 | 0 | 161 | 0 | 1 | 0 | 162 | 0 | 0 | 0 | 162 | 0 | 1 | 0 | 163 | 0 | 0 | 0 | 163 | 0 | 1 | 0 | 164 | 0 | 0 | 0 | 164 | 0 | 1 | 0 | 165 | 0 | 0 | 0 | 165 | 0 | 1 | 0 | 166 | 0 | 0 | 0 | 166 | 0 | 1 | 0 | 167 | 0 | 0 | 0 | 167 | 0 | 1 | 0 | 168 | 0 | 0 | 0 | 168 | 0 | 1 | 0 | 169 | 0 | 0 | 0 | 169 | 0 | 1 | 0 | 170 | 0 | 0 | 0 | 170 | 0 | 1 | 0 | 171 | 0 | 0 | 0 | 171 | 0 | 1 | 0 | 172 | 0 | 0 | 0 | 172 | 0 | 1 | 0 | 173 | 0 | 0 | 0 | 173 | 0 | 1 | 0 | 174 | 0 | 0 | 0 | 174 | 0 | 1 | 0 | 175 | 0 | 0 | 0 | 175 | 0 | 1 | 0 | 176 | 0 | 0 | 0 | 176 | 0 | 1 | 0 | 177 | 0 | 0 | 0 | 177 | 0 | 1 | 0 | 178 | 0 | 0 | 0 | 178 | 0 | 1 | 0 | 179 | 0 | 0 | 0 | 179 | 0 | 1 | 0 | 180 | 0 | 0 | 0 | 180 | 0 | 1 | 0 | 181 | 0 | 0 | 0 | 181 | 0 | 1 | 0 | 182 | 0 | 0 | 0 | 182 | 0 | 1 | 0 | 183 | 0 | 0 | 0 | 183 | 0 | 1 | 0 | 184 | 0 | 0 | 0 | 184 | 0 | 1 | 0 | 185 | 0 | 0 | 0 | 185 | 0 | 1 | 0 | 186 | 0 | 0 | 0 | 186 | 0

48

Câu 48:

Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất để sản phẩm đó của lô I là bao nhiêu?

A. \(\frac{5}{7}\)

B. \(\frac{5}{6}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(\frac{2}{5}\). Đáp án đúng là D Phương pháp giải Công thức Bayes Lời giải Xác suất để lấy ra sản phẩm lỗi là: \(P(\overline{A}) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}\) Ta có: \(P(B_1) = \frac{1}{2}\), \(P(\overline{A} | B_1) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm ở lô thứ nhất và là sản phẩm bị lỗi là: \[P(B_2 | \overline{A}) = \frac{P(B_1) \cdot P(\overline{A} | B_1)}{P(\overline{A})} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{5}{12}} = \frac{2}{5}\]

49

Câu 49:

Hàm số \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\). Khi đó hàm số \(kF(2x+2025)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(2x+2025)\). Xác định k. (nhập kết quả vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "1/2"

Phương pháp giải

Lời giải

Từ giả thiết

\[\Rightarrow (kF(2x+2025))' = kF'(2x+2025) = 2k \cdot f(2x+2025) \\ \Rightarrow 2k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{2}\]

50

Câu 50:

Bốn học sinh A, B, C, D thi kéo co xem ai khỏe nhất, thứ hai, thứ 3 và yếu nhất.Bạn hãy xác định điều đó qua kết quả 3 lần kéo co sau đây:

Lần 1: Dù khó khăn nhưng B vẫn thắng A và C gộp lại

Lần 2: Khi một đầu là A và B, đầu kia là C và D thì kết quả không phân thắng bại

Lần 3: Từ lần hai nếu A và C đổi chỗ cho nhau thì cặp D-A thắng 1 cách dễ dàng.

Hỏi ai là người khỏe nhất

A. Bạn

B. Bạn

C. Bạn

D. Bạn D. Đáp án đúng là B Phương pháp giải Lời giải Để xác định ai khỏe nhất trong số 4 học sinh dựa vào các kết quả kéo co, ta phân tích từng lần như sau: Lần 1: B thắng A và C gộp lại. Điều này chứng tỏ sức mạnh của B lớn hơn tổng sức mạnh của A và C. \[B > A + C\] Lần 2: A và B đấu với C và D, kết quả không phân thắng bại. Điều này chứng tỏ tổng sức mạnh của A và B bằng tổng sức mạnh của C và D. \[A + B = C + D\] Lần 3: Khi A và C đổi chỗ cho nhau so với lần 2, tức là D và A đấu với B và C, thì D và A thắng dễ dàng. Điều này chứng tỏ tổng sức mạnh cũa D và A lớn hơn tổng sức mạnh của B và C. \[D + A > B + C\] Vậy: Từ lần 2: \[A + B = C + D, \text{ suy ra } B = C + D - A.\] Từ lần 1: \[B > A + C, \text{ thay } B \text{ từ trên:}\] \[C + D - A > A + C\] \[D > 2A\] Từ lần 3: \[D + A > B + C, \text{ thay } B \text{ từ trên:}\] \[2A > 2C\] \[A > C\] Sắp xếp sức mạnh: Từ các bất đẳng thức: \[D > 2A > 2C, \text{ suy ra } D > A > C.\] Từ lần 1, \(B > A + C\), suy ra \(B\) là người khỏe nhất. Kết luận: Người khỏe nhất là B. ---