Đề đánh giá năng lực HSA Toán học số 39 - Làm bài thi

1

## Câu 1:

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(O, O'\) lần lượt là tâm 2 đáy (\(ABCD\)) và (\(A'B'C'D'\)). Gọi \(m, n\) là hai số thực thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow{AO'} = m\overrightarrow{DB} + n\overrightarrow{CB}\). Tính tổng \(m+n\)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

![](images/0.jpg)

Đáp án đúng là "-1/2"

Phương pháp giải

Phân tích vecto

Lời giải

\[ \text{Ta có: } \overrightarrow{AO'} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OO'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \]

\[ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} \]

\[ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AD} \]

\[ \text{Mà } \overrightarrow{AO'} = m\overrightarrow{DB} + n\overrightarrow{CB} \]

\[ \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overleftrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = m(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) + n(-\overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AD}) \]

\[ \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{2} = m \\ \frac{1}{2} = -m - n \Rightarrow \\ 1 = -n \end{cases} \quad \begin{cases} m = \frac{1}{2} \\ n = -1 \\ -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \end{cases} \]

\[ \text{Vậy } m+n = -\frac{1}{2} \]

A. A'B'C'D'\) có \(O, O'\) lần lượt là tâm 2 đáy (\(ABCD\)) và (\(A'B'C'D'\)). Gọi \(m, n\) là hai số thực thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow{AO'} = m\overrightarrow{DB} + n\overrightarrow{CB}\). Tính tổng \(m+n\)? (nhập đáp án vào ô trống) **Đáp án:** ![](images/0.jpg) **Đáp án đúng là "-1/2"** **Phương pháp giải** Phân tích vecto **Lời giải** \[ \text{Ta có: } \overrightarrow{AO'} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OO'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \] \[ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AD} \] \[ \text{Mà } \overrightarrow{AO'} = m\overrightarrow{DB} + n\overrightarrow{CB} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overleftrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = m(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) + n(-\overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AD}) \] \[ \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{2} = m \\ \frac{1}{2} = -m - n \Rightarrow \\ 1 = -n \end{cases} \quad \begin{cases} m = \frac{1}{2} \\ n = -1 \\ -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \end{cases} \] \[ \text{Vậy } m+n = -\frac{1}{2} \]

2

## Câu 2:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A \equiv O(0;0;0)\), \(B(3;0;0)\), \(D(0;3;0)\) và \(D'(0;3;-3)\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C\). Biết \(\overrightarrow{AG}(a,b,c)\). Tính tổng \(a+b+c\)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "0"

Phương pháp giải

Công thức tọa độ vecto trong không gian

Lời giải

\[ \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{DD'} \Rightarrow \begin{cases} x_{A'} = 0 \\ y_{A'} = 0 \\ z_{A'} = -3 \end{cases} \Rightarrow A' (0; 0; -3) \]

\[ \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{DD'} \Rightarrow \begin{cases} x_{B'} - 3 = 0 \\ y_{B'} = 0 \\ z_{B'} = -3 \end{cases} \Rightarrow B' (3; 0; -3) \]

\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Rightarrow \begin{cases} x_C = 3 \\ y_C = 3 \Rightarrow C (3; 3; 0) \\ z_C = 0 \end{cases} \]

\[ \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'} \Rightarrow \begin{cases} x_C = 3 \\ y_C = 3 \\ z_C = -3 \end{cases} \Rightarrow C' (3; 3; -3) \]

G là trọng tâm tam giác \(A'B'C' \Rightarrow G(2;1;-3) \Rightarrow \overrightarrow{AG} = (2;1;-3)\)

\[ \Rightarrow a + b + c = 0 \]

A. A'B'C'D'\) có \(A \equiv O(0;0;0)\), \(B(3;0;0)\), \(D(0;3;0)\) và \(D'(0;3;-3)\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C\). Biết \(\overrightarrow{AG}(a,b,c)\). Tính tổng \(a+b+c\)? (nhập đáp án vào ô trống) Đáp án: Đáp án đúng là "0" Phương pháp giải Công thức tọa độ vecto trong không gian Lời giải \[ \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{DD'} \Rightarrow \begin{cases} x_{A'} = 0 \\ y_{A'} = 0 \\ z_{A'} = -3 \end{cases} \Rightarrow A' (0; 0; -3) \] \[ \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{DD'} \Rightarrow \begin{cases} x_{B'} - 3 = 0 \\ y_{B'} = 0 \\ z_{B'} = -3 \end{cases} \Rightarrow B' (3; 0; -3) \] \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Rightarrow \begin{cases} x_C = 3 \\ y_C = 3 \Rightarrow C (3; 3; 0) \\ z_C = 0 \end{cases} \] \[ \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'} \Rightarrow \begin{cases} x_C = 3 \\ y_C = 3 \\ z_C = -3 \end{cases} \Rightarrow C' (3; 3; -3) \] G là trọng tâm tam giác \(A'B'C' \Rightarrow G(2;1;-3) \Rightarrow \overrightarrow{AG} = (2;1;-3)\) \[ \Rightarrow a + b + c = 0 \]

3

Câu 3:

Cho hàm số \(y = f(x) = x^2 - 4x + 3\). Hàm số \(g(x) = f(x^3 - 3x)\) có mấy cực trị?

A. 3

B. 1

C. 4

D. 5. Đáp án đúng là A Phương pháp giải Khảo sát hàm số \(g(x)\) Lời giải Ta có: \(f'(x) = 2x - 4\), \(f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2\) \[g(x) = f(x^3 - 3x)\] \[\Rightarrow g'(x) = (3x^2 - 3).f'(x^3 - 3x)\] \[g'(x) = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 3x^2 - 3 = 0 \\ f'(x^3 - 3x) = 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x = \pm 1 \\ x^3 - 3x = 2 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x = 1 \\ x = -1 \\ x = 2 \end{bmatrix}\] Bảng biến thiên: ![](images/0.jpg) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 cực trị

4

## Câu 4:

Trong không gian \(Oxyz\) cho \(\Delta ABC\) có điểm \(A(3;1;-2)\), \(B(-3;-1;2)\), \(C(-1;0;-1)\). Gọi điểm là chân đường phân giác trong của \(\Delta ABC\). Xác định tọa độ điểm \(D\)?

A. \(D\left(\frac{-1}{3}; \frac{-1}{3}; \frac{-4}{3}\right)\)

B. \(D\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{-4}{3}\right)\)

C. \(D\left(\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{-4}{3}\right)\)

D. \(D\left(\frac{1}{3}; \frac{-1}{3}; \frac{-4}{3}\right)\). ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó ### Lời giải Theo tính chất đường phân giác trong ta có: \(\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC}\) Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (-6;-2;4) \Rightarrow AB = 2\sqrt{14}\) \[\overrightarrow{BC} = (2;1;-3) \Rightarrow BC = \sqrt{14}\] \[\Rightarrow \frac{BA}{BC} = \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = 2\] \[ \Rightarrow \overrightarrow{DA} = -2\overrightarrow{DC} \] Gọi \(D(x; y; z)\) \[ \Rightarrow \overrightarrow{DA} = (3-x; 1-y; -2-z) \] \[ \overrightarrow{DC} = (-1-x; -y; -1-z) \] Ta có: \(\overrightarrow{DA} = -2\overrightarrow{DC} \Rightarrow \begin{cases} 3-x = 2+2x \\ 1-y = 2y \\ -2-z = 2+2z \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = \frac{1}{3} \\ z = -\frac{4}{3} \end{cases}\) Vậy điểm \(D\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{4}{3}\right)\)

5

Câu 5:

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A(1;1;1)\), \(B(4;1;1)\), \(C(1;1;5)\). Biết điểm \(M(a,b,c)\) thuộc mặt phẳng \(x-y+z-10=0\) là điểm thỏa mãn hệ thức: \(T = \overrightarrow{MA} - 4\overrightarrow{MB} + 5\overrightarrow{MC}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \(a+b+c\)?

A. \(\frac{14}{3}\)

B. \(\frac{17}{3}\)

C. \(\frac{10}{3}\)

D. \(\frac{16}{3}\). **Đáp án đúng là D** **Phương pháp giải** **Lời giải** Gọi \(I(a,b,c)\) là điểm thỏa mãn hệ thức: \(\overrightarrow{IA} - 4\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = 0\) Theo bài ra ta có: \[ \begin{aligned} T &= \left| \overrightarrow{MA} - 4\overrightarrow{MB} + 5\overrightarrow{IC} \right| = \left| \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} - 4\overrightarrow{MI} - 4\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{MI} + 5\overrightarrow{IC} \right| = \left| 2\overrightarrow{MI} \right| = 2MI \\ \Rightarrow T_{\text{min}} &\Leftrightarrow MI_{\text{min}} \Rightarrow M \text{ là hình chiếu của } I \text{ trên mặt phẳng } (P) \end{aligned} \] Xác định tọa độ điểm \(I\): \[ \overrightarrow{IA} = (1-a; 1-b; 1-c) \] \[ \overrightarrow{IB} = (4 - a; 1 - b; 1 - c) \Rightarrow -4\overrightarrow{IB} = (-16 + 4a; -4 + 4b; -4 + 4c) \] \[ \overrightarrow{IC} = (1 - a; 1 - b; 5 - c) \Rightarrow 5\overrightarrow{IC} = (5 - 5a; 5 - 5b; 25 - 5c) \] Mà \(\overrightarrow{IA} - 4\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = 0\) \[ \Rightarrow \begin{cases} 1 - a - 16 + 4a + 5 - 5a = 0 \\ 1 - b - 4 + 4b + 5 - 5b = 0 \\ 1 - c - 4 + 4c + 25 - 5c = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2a - 10 = 0 \\ -2b + 2 = 0 \\ -2c + 22 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = -5 \\ b = 1 \\ c = 11 \end{cases} \Rightarrow I(-5; 1; 11) \] Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) là: \[ d : \begin{cases} x = -5 + t \\ y = 1 - t \\ z = 11 + t \end{cases}, t \in \mathbb{R} \] Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \[ \begin{cases} x = -5 + t \\ y = 1 - t \\ z=11+t \\ x-y+z-10=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -5 + t \\ y = 1 - t \\ z \equiv 11+t \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -5 + t \\ y = -1+t \\ z \equiv 11+t \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 5+t \\ y = 1-t \\ z \equiv 11+t \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{-20}{3} \\ y = \frac{8}{3} \\ z = \frac{28}{3} \\ t = \frac{-5}{3} \end{cases} \Rightarrow M \left( \frac{-20}{3}; \frac{8}{3}; \frac{28}{3} \right) \Rightarrow a+b+c=\frac{16}{3} \] \[ \Rightarrow a+b+c=\frac{16}{3} \]

6

## Câu 6:

Trong một khu vực đang bùng phát dịch bệnh \(B\), tỉ lệ mắc bệnh trong dân số là 2%. Một loại xét nghiệm được sử dụng để phát hiện bệnh, nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm có 90% khả năng cho dương tính. Nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm có 95% khả năng cho kết quả âm tính. Xác suất một người bất kì xét nghiệm cho kết quả dương tính là?

A. \(P = 0,067\)

B. \(P = 0,042\)

C. \(P = 0,045\)

D. \(P = 0,038\). Phương pháp giải Xác suất toàn phần Lời giải Gọi \(A\): "Kết quả xét nghiệm dương tính" B: "Kết quả xét nghiệm âm tính" C: "Người mắc bệnh" D: "Người không mắc bệnh" Tỉ lệ mắc bệnh trong dân số là: \(P(C) = 0,02 \Rightarrow P(D) = 1 - 0,02 = 0,98\) Xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương và người đó bị bệnh là: \(P(A|C) = 0,9\) Xác suất để xét nghiệm âm tính và người đó không bị bệnh là: \(P(B|D) = 0,95\) Xác suất để xét nghiệm dương tính nhưng người đó không bị bệnh là: \[P(A|D) = 1 - 0,95 = 0,05\] Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần ta có: \[P(A) = P(A|C).P(C) + P(A|D).P(D) = (0,9,0,2) + (0,05,0,98) = 0,067\]

7

Câu 7:

Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(d: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-4} = \frac{z-3}{-5}\) đi qua điểm nào sau đây?

A. \(M(-1;2;-3)\)

B. \(N(1;-2;3)\)

C. \(P(-3;4;5)\)

D. \(Q(3;-4;5)\). Đáp án đúng là B Phương pháp giải Thay tọa độ điểm vào đường thẳng và nhận xét Lời giải Đường thẳng đi qua điểm \(N(1;-2;3)\)

8

Câu 8:

Cho hàm số \(y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e}\) (với \(\frac{-e}{d}\) không là nghiệm của từ) có đồ thị như hình bên. Tính tổng

\[a + b + c + d + e?\]

![](images/0.jpg)

A. \(2e\)

B. 0

C. e

D. 1. Đáp án đúng là C Phương pháp giải Nhận diện đồ thị, biến đổi \(a, b, c, d\) theo \(e\) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có hai tiệm cận là Tiệm cận đứng: \(x = 1\) Tiệm cận xiên: \(y = -x + 1\) (1) \[\Rightarrow \frac{-e}{d} = 1 \Rightarrow d = -e\] Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tọa độ \((0; 2)\) \[\Rightarrow \frac{c}{e} = 2 \Rightarrow c = 2e\] Ta có: phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[y = \frac{a}{d}x + \frac{bd - ae}{d^2} \quad (2)\] \[\text{Từ (1); (2)} \Rightarrow \begin{cases} \frac{a}{d} = -1 \\ \frac{bd - ae}{d^2} = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = -d \\ bd - ae = d^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = e \\ -be - e^2 = e^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = e \\ b = -2e \end{cases}\] Vậy: \(a+b+c+d+e=e-2e+2e-e+e=e\)

9

## Câu 9:

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) và có bảng biến thiên như sau

![](images/0.jpg)

Đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{2f(x)-5}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4. ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Dựa vào bảng biến thiên nhận xét ### Lời giải Dựa vào BBT, phương trình \(2f(x)-5=0 \Leftrightarrow f(x)=\frac{5}{2}\) có 4 nghiệm phân biệt thuộc các khoảng \((-\infty;-2)\), \((-2;1)\), \((1;2)\), \((2;+\infty)\) nên đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{2f(x)-5}\) có 4 đường tiệm cận đứng

10

## Câu 10:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in [1;25]\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y=\frac{-x^2+2x-m+5}{2x-m}\) đồng biến trên khoảng \((1;3)\)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "20"

Phương pháp giải

Điều kiện đơn điệu trên khoảng của hàm phân thức

## Lời giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{m}{2} \right\}\)

Xét hàm số \(y = \frac{-x^2 + 2x - m + 5}{2x - m}\)

\[y' = \frac{-2x^2 + 2mx - 10}{(2x - m)^2}\]

Để hàm số đồng biến trên khoảng \((1;3) \Rightarrow \begin{cases} -2x^2 + 2mx - 10 \ge 0, \forall x \in (1;3) \\ \frac{m}{2} \notin (1;3) \end{cases}\)

\[\Rightarrow \begin{cases} mx \ge x^2 + 5 \\ m \le 2 \\ m \ge 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge \frac{x^2 + 5}{x}, \forall x \in (1;3) \\ m \le 2 \\ m \ge 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m \ge \max_{[1;3]} \frac{x^2 + 5}{x} \\ m \le 2 \\ m \ge 6 \end{cases}\]

Xét hàm số \(y = \frac{x^2 + 5}{x}\) trên \((1;3)\)

\[y' = \frac{-(3x^2 + 5)}{x^2} < 0, \forall x \in (1;3) \Rightarrow \text{Hàm số nghịch biến trên } \mathbb{R}.\]

\[\Rightarrow \max_{[1;3]} \frac{x^2 + 5}{x} = 6\]

\[\Rightarrow m \ge 6\]

Kết hợp với các điều kiện \(m \in [6;25] \Rightarrow\) có 20 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

11

## Câu 11:

Nếu \(\int_{1}^{3} (2f(x) + 1)dx = 5\) thì \(\int_{1}^{3} f(x)dx\) bằng? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

![](images/0.jpg)

Đáp án đúng là "3/2"

Phương pháp giải

Tính chất của tích phân

Lời giải

Ta có:

\[ \int_{1}^{3} (2f(x) + 1) dx = 5 \Leftrightarrow 2 \int_{1}^{3} f(x) dx + \int_{1}^{3} dx = 5 \Leftrightarrow 2 \int_{1}^{3} f(x) d x + 2 = 5 \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f(x) d x = \frac{3}{2} \]

12

Câu 12:

Cho hàm số đa thức bậc ba \(y = f(x)\) có hai điểm cực trị là \(x = 0\) và \(x = 3\). Hàm số \(y = g(x)\) là hàm số bậc bốn có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

![](images/0.jpg)

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = f(g(x) + m)\) có đúng 7 điểm cực trị? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Số cực trị là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'(x) = 0\)

Lời giải

Hàm số \(y = f(x)\) có hai điểm cực trị là \(x = 0\), và \(x = 3\) và \(f'(x)\) đổi dấu khi đi qua hai điểm này \(\Rightarrow \begin{cases} f'(0) = 0 \\ f'(3) = 0 \end{cases}\).

Xét hàm số \(y = f(g(x) + m)\) có đạo hàm \(y' = g'(x).f'(g(x) + m)\).

\[ \text{Giải phương trình } y' = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} g'(x) = 0 \\ f'(g(x) + m) = 0 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = x_1 \\ x = 0 \\ x = x_2 \\ g(x) + m = 0 \\ g(x) + m = 3 \end{bmatrix} \quad (1) \text{ với } x_1; 0; x_2 \text{ là các điểm cực trị của} \]

hàm số \(y = g(x)\).

Để hàm số \(y = f(g(x) + m)\) có đúng 7 điểm cực trị thì phương trình (*) phải có đúng 7 nghiệm phân biệt.

Để phương trình (1) có đúng 7 nghiệm phân biệt thì \(\begin{bmatrix} g(x) + m = 0 \\ g(x) + m = 3 \end{ bmatrix}\) (2) có đúng 4 nghiệm phân biệt và 4 nghiệm này phải khác \(x_1; 0; x_2\).

\[ \text{Từ (2) } \Leftrightarrow \begin{bmatrix} g(x) = -m \\ g(x) = -m + 3 \end{bmatrix} \]

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán

\[ \Leftrightarrow \begin{cases} -m \ge -1 \\ -5 < -m + 3 < -1 \\ -m \le -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \le 1 \\ 4 < m < 8 \\ m \ge 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \le 1 \\ 5 \le m < 8 \end{cases} \]

Vậy có 4 giá trị nguyên dương \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

13

## Câu 13:

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(M(3;-1;2)\) và \(N(-1;2;1)\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M\), song song với mặt phẳng \((P): 2x - 2y + z - 5 = 0\) sao cho khoảng cách từ \(N\) đến \(\Delta\) đạt giá trị nhỏ nhất.

\[ \text{A. } \Delta: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{2}. \]

\[ \text{C. } \Delta: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{\phantom{-}1} = \frac{z-2}{-2}. \]

\[ \text{B. } \Delta: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1\phantom{-}1}{1} = \frac{z-2}{2}. \]

\[ \text{D. } \Delta: \frac{x-3}{-2} = \frac{y+1\phantom{-}1}{1} = \frac{-z-2}{-2}. \]

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp (P)

## Lời giải

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua M, song song với mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 5 = 0

\[ \Rightarrow \overline{n_{(Q)}} = \overline{n_{(P)}} = (2; -2; 1) \Rightarrow \Delta \subset (Q) \]

Ta có: \(\overline{MN} = (-4; 3; -1)\)

\[ d(N, \Delta){\min} \Leftrightarrow \overline{u{\Delta}} = \left[ \overline{n_{(Q)}}, \left[ \overline{MN}, \overline{n_{(Q)}} \right] \right] = (-6; -3; 6) = -3(2; 1; -2) \]

\[ \text{Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: } \Delta : \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{-2} \]

A. } \Delta: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{2}. \] \[ \text{C. } \Delta: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{\phantom{-}1} = \frac{z-2}{-2}. \] \[ \text{

B. } \Delta: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{\phantom{-}1} = \frac{z-2}{-2}. \] \[ \text{B. } \Delta: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1\phantom{-}1}{1} = \frac{z-2}{2}. \] \[ \text{

C. } \Delta: \frac{x-3}{-2} = \frac{y+1\phantom{-}1}{1} = \frac{-z-2}{-2}. \] Đáp án đúng là C Phương pháp giải Xác định phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp (P) ## Lời giải Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua M, song song với mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 5 = 0 \[ \Rightarrow \overline{n_{(Q)}} = \overline{n_{(P)}} = (2; -2; 1) \Rightarrow \Delta \subset (Q) \] Ta có: \(\overline{MN} = (-4; 3; -1)\) \[ d(N, \Delta)_{\min} \Leftrightarrow \overline{u_{\Delta}} = \left[ \overline{n_{(Q)}}, \left[ \overline{MN}, \overline{n_{(Q)}} \right] \right] = (-6; -3; 6) = -3(2; 1; -2) \] \[ \text{Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: } \Delta : \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{-2} \]

14

## Câu 14:

Gọi S là tập hợp các số nguyên x thỏa mãn \(4yx^6 + \log_2(x^6) - 2\log_2 x + 1 \ge 2^{\log_2^2(x)} + \log_2^2 x\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của y để tập hợp S có nhiều nhất 32 phần tử?

A. 19

B. 21

C. 24

D. 25. ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Xét hàm đặc trưng ## Lời giải Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\). Bất phương trình tương đương với: \[ 4yx^6 + \log_2(x^6) + 1 \ge 2^{\log_2^2(x)} + \log_3^2 x + 2\log_2 x \] \[ \Leftrightarrow 4yx^6 + \log_2(x^6) + 2 \ge 2^{\log_2^2(x)} + (\log_2^2 x + 2\log_2 x + 1) \] \[ \Leftrightarrow 4yx^6 + \log_2(4yx^6) \ge 2^{\log_2^2(x)} + (\log_2 x + 1)^2 \] \[ \Leftrightarrow 4yx^6 + \log_2(4y^6) \ge 2^{\log_2^2(x)} + \log_2^2(2x) \Leftrightarrow f(4yx^6) \ge f(2^{\log_2^2 x}) \quad (1). \] Xét hàm đặc trưng \(f(t) = t + \log_2 t, t > 0\). Ta có \(f'(t) = 1 + \frac{1}{t \ln 2} > 0\) với \(t > 0\) nên hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \((0; +\infty)\). Xét hàm đặc trưng \(f(t) = t + \log_2 t, t > 0\). Ta có \(f'(t) = 1 + \frac{1}{t \ln 2} > 0\) với \(t > 0\) nên hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \((0; +\infty)\). Khi đó ta được: \[ (1) \Leftrightarrow 4y x^6 \ge 2^{\log_2^2 x} \Leftrightarrow 2 + \log_2 y + 6 \log_2 x \ge \log_2^2 2x \] \[ \Leftrightarrow \log_2 y \ge \log_2^2 x - 4 \log_2 x - 1 = g(x). \] \[ Ta có g'(x) = \frac{2}{x \ln 2} \log_2 x - \frac{4}{x \ln 2} = \frac{2}{x \ln 2} (\log_2 x - 2) \] \[ g'(x) = 0 \Leftrightarrow \log_2 x = 2 \Leftrightarrow x = 4. \] ![](images/0.jpg) Để tập \(S\) có nhiều nhất 32 phần tử thì \(\log_2 y < g(33) \Leftrightarrow 0 < y < 2^{g(33)} \Rightarrow 0 < y \le 19\). Vậy có 19 giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

15

## Câu 15:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:

![](images/1.jpg)

Biết \(\int_1^5 |f'(x)| dx = 5\). Tính giá trị \(f(5)\)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

## Đáp án đúng là "3"

### Phương pháp giải

Dùng tính chất của tích phân

### Lời giải

\[
\begin{align*}
\int_{1}^{5} |f'(x)| dx &= 5 \Leftrightarrow \int_{1}^{2} |f'(x)| dx + \int_{2}^{5} |f'(x)| dx = 5 \\
\Rightarrow - \int_{1}^{2} f'(x) dx + \int_{2}^{5} f'(x) dx &= 5 \\
\Leftrightarrow -[f(2) - f(1)] + [f(5) - f(2)] &= 5 \\
\Leftrightarrow f(5) &= 3
\end{align*}
\]

16

### Câu 16:

Một người bán buôn Thanh Long đỏ ở Vĩnh Phúc thấy rằng: nếu bán với giá 20000 đồng/kg thì mỗi tuần bán có 90 khách đến mua và mỗi khách mua trung bình 60 kg. Cứ tăng giá 2000 đồng/kg thì số khách mua hàng tuần giảm đi 1 và khi đó mỗi khách lại mua ít hơn mức trung bình 5 kg. Và như vậy cứ giảm giá 2000 đồng/kg thì số khách mua hàng tuần tăng thêm 1 và khi đó mỗi khách lại mua nhiều hơn mức trung bình 5 kg. Hỏi người đó phải bán với giá mỗi kg là bao nhiêu để lợi nhuận thu được hàng tuần là lớn nhất, biết rằng người đó phải nộp tổng các loại thuế là 2200 đồng/kg. (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?

A. 22000 đồng/kg. B. 20000 đồng/kg. C. 18000 đồng/kg. D. 24000 đồng/kg.

### Đáp án đúng là A

### Phương pháp giải

Lập hàm và khảo sát hàm vừa nhận được

### Lời giải

Giả sử giá bán thay đổi \(x\) lần, mỗi lần thay đổi 2000 đồng ( \(x \in \mathbb{Z}, x > 0\) là tăng giá, \(x < 0\) là giảm giá). Theo thực tế \(-10 < x < 45\). (giá bán trên 0 đồng và còn ít nhất 1 khách). Tổng tiền thu được sau khi thay đổi là:

\[T = (90 - x)(60 - 5x)(20 + 2x - 2,2) = 10x^3 - 931x^2 + 1772x + 96120\]

Xét hàm số \(T = 10x^3 - 931x^2 + 1772x + 96 120\)

\[T' = 30(x^2 - 62,0667x + 57,4)\]

\[T' = 0 \Rightarrow \begin{cases} x \approx 1 \\ x \approx 61 \end{cases}\]

Bảng biến thiên:

![](images/0.jpg)

Dựa vào bảng biến thiên \(\Rightarrow T_{\text{max}}\) khi \(x=1\). Tức là ta chỉ tăng giá 1 lần. Vậy giá đưa ra để lợi nhuận cao nhất là: 22000 đồng/kg.

A. 22000 đồng/kg

B. 20000 đồng/kg

C. 18000 đồng/kg

D. 24000 đồng/kg. ### Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Lập hàm và khảo sát hàm vừa nhận được ### Lời giải Giả sử giá bán thay đổi \(x\) lần, mỗi lần thay đổi 2000 đồng ( \(x \in \mathbb{Z}, x > 0\) là tăng giá, \(x < 0\) là giảm giá). Theo thực tế \(-10 < x < 45\). (giá bán trên 0 đồng và còn ít nhất 1 khách). Tổng tiền thu được sau khi thay đổi là: \[T = (90 - x)(60 - 5x)(20 + 2x - 2,2) = 10x^3 - 931x^2 + 1772x + 96120\] Xét hàm số \(T = 10x^3 - 931x^2 + 1772x + 96 120\) \[T' = 30(x^2 - 62,0667x + 57,4)\] \[T' = 0 \Rightarrow \begin{cases} x \approx 1 \\ x \approx 61 \end{cases}\] Bảng biến thiên: ![](images/0.jpg) Dựa vào bảng biến thiên \(\Rightarrow T_{\text{max}}\) khi \(x=1\). Tức là ta chỉ tăng giá 1 lần. Vậy giá đưa ra để lợi nhuận cao nhất là: 22000 đồng/kg

17

## Câu 17:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in (-2025; 2025)\) để hàm số: \(y = \cos^3 x - 3\sin^2 x + \cos 2x - m\cos x - 1\) đồng biến trên đoạn \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

![](images/1.jpg)

## Đáp án đúng là "2025"

### Phương pháp giải

Đặt \(t = \cos x\), khảo sát hàm \(f(t)\)

### Lời giải

\[Xét hàm số: y = \cos^3 x - 3\sin^2 x + \cos 2x + m\cos x - 1\]

\[\Rightarrow y = \cos^3 x - 3\left(1 - \cos^2 x\right) + 2\cos^2 x - 1 - m\cos x - 1\]

\[y = \cos^3 x + 5\cos^2 x - m\cos x - 5\]

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow t \in [0; 1] \Rightarrow y = t^3 + 5t^2 - mt - 5\]

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\) hàm số \(y = t^3 + 5t^2 - mt - 5\) đồng biến trên \((0; 1)\)

Ta có: \(y' = 3t^2 + 10t - m\)

Để hàm số đồng biến trên \((0; 1)\) thì \(y' \ge 0, \forall t \in (0; 1)\)

\[\Leftrightarrow 3t^2 + 10t - m \ge 0, \forall t \in (0; 1)\]

\[ \Leftrightarrow 3t^2 + 10t \geq m, \forall t \in (0;1) \]

\[ \Rightarrow m \leq \min_{[0;1]} (3t^2 + 10t) \]

\[ Xét hàm số \(f(t) = 3t^2 + 10t\), \(f'(t) = 6t + 10 \Rightarrow t = \frac{-5}{3} \notin [0;1]\) \]

\[ f(0) = 0, f(1) = 13 \]

\[ Vậy \min_{[0;1]} f(t) = 0 \Rightarrow m \leq 0 \]

\[ Kết hợp với yêu cầu bài toán \Rightarrow m \in (-2025; 0] \Rightarrow m \in \{-2024; -2023; \dots; 0\} \]

\[ Vậy có 2025 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. \]

18

## Câu 18:

Một khu bảo tồn thiên nhiên đang nghiên cứu quần thể của một loài động vật quý hiếm. Quần thể này ban đầu tăng trưởng đều đặn (tuân theo cấp số cộng), nhưng khi số lượng cá thể lớn dần, nguồn tài nguyên như thức ăn và môi trường sống trở nên hạn chế. Điều này làm cho tốc độ tăng trưởng giảm dần theo thời gian. Ban đầu, số lượng cá thể trong quần thể là \(u_1 = 200\). Trong những năm đầu quần thể tăng thêm trung bình 30 cá thể mỗi năm. Tuy nhiên sau 5 năm, tốc độ tăng trưởng bắt đầu giảm dần, cụ thể sau mỗi năm số cá thể tăng thêm giảm 10% so với số cá thể tăng trung bình của những năm trước. Tính tổng số cá thể của quần thể vào năm thứ 10?

A. 450

B. 390

C. 431

D. 520. ## Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải Cấp số cộng ### Lời giải Trong năm năm đầu, quần thể tăng trưởng đều với cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1).d \quad \text{với } 1 \le n \le 5 \] \[ u_n = 200 + (n-1).30 \] \[ \Rightarrow u_5 = 200 + (5-1).30 = 320. \] Từ năm thứ 6 trở đi công sai d bắt đầu giảm theo cấp số nhân: \[d_{k+1} = d_k (1-r).\] Với \(d_5 = 30, r = 10\% = 0,1\) \[\Rightarrow d_6 = 30.0, 9 = 27, d_7 = 27.0, 9 = 24, 3, \dots\] Từ năm thứ 6 trở đi đến năm thứ 10, số lượng cá thể tăng thêm mỗi năm là: \[u_{n+1} = u_n + d_{n+1}\] \[u_6 = u_5 + d_6 = 320 + 27 = 347\] \[u_7 = u_6 + d_7 = 347 + 24, 3 = 371, 3\] \[u_8 = u_7 + d_8 = 371, 3 + 21, 87 = 393, 17\] \[u_9 = u_8 + d_9 = 393, 17 + 19, 683 = 412, 853\] \[u_{10} = u_9 + d_{10} = 412, 853 + 17, 7147 = 430, 5677 \approx 431\] Vậy số lượng cá thể năm thứ 10 là: 431

19

## Câu 19:

Trong trung tâm công viện có một hồ nước hình elip có độ dài trục lớn 40 m, độ dài trục bé bằng 20 m. Giữa hồ nước là một đài phun nước hình tròn có đài phun nước đường kính 15 m, phần còn lại của hồ nước người ta thả cá. Tính diện tích phần thả cá.

A. \(\frac{125\pi}{8}(m^2)\)

B. \(100\pi(m^2)\)

C. \(\frac{225\pi}{8}(m^2)\)

D. \(\frac{575}{8}(m^2)\). ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Xác định phương trình elip, ứng dụng tích phân để giải ### Lời giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: ![](images/0.jpg) Phương trình đường elip là: \(\frac{x^2}{400} + \frac{y^2}{100} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \sqrt{400 - x^2}\). Elip cắt trục hoành tại các điểm: \((-20; 0)\) và \((20; 0)\). Diện tích hồ nước là: \[S = \frac{1}{2} \int_{-20}^{20} \sqrt{400 - x^2} dx = 100\pi.\] Phương trình đường tròn: \(x^2 + y^2 = \left(\frac{15}{2}\right)^2 \Rightarrow y = \sqrt{\frac{225}{4} - x^2}\) Đường tròn cắt trục hoành tại các điểm: \(\left(-\frac{15}{2}; 0\right)\) và \(\left(\frac{15}{2}; 0\right)\) Diện tích đài phun nước: \[\Rightarrow S' = \int_{-\frac{15}{2}}^{\frac{15}{2}} \sqrt{\frac{225}{4} - x^2} = \frac{225\pi}{8}\] \[\text{Vậy diện tích phần nuôi cá là: } S = 100\pi - \frac{225\pi}{8} = \frac{575\pi}{8} (\text{m}^2)\]

20

## Câu 20:

Mặt trời có cấu trúc gồm nhiều lớp, mỗi lớp có nhiệt độ thay đổi theo vị trí. Ta giả định rằng nhiệt độ \(T(r)\) (đo bằng độ Kelvin) tại một cách tâm Mặt Trời một khoảng \(r\) (tính theo bán kính Mặt Trời)

R) được mô tả bởi hàm: \(T(r) = T_0 \left(1 - \frac{r}{R}\right)^p\). Trong đó: \(T_0 = 15.10^6\) (K) là nhiệt độ tâm lõi Mặt Trời, \(R\) là bán kính Mặt Trời (\(R \approx 696000\) km), \(p\): hệ số đặc trưng cho sự phân bố nhiệt độ (giả sử \(p = 2,5\)). Gọi \(M, m\) là nhiệt độ lớn nhất và nhỏ nhất trong cấu trúc Mặt Trời. Tính tổng \(M + m\)

A. \(15.10^6(K)\)

B. \(10^6(K)\)

C. \(16.10^6(K)\)

D. \(20.10^6(K)\) Đáp án đúng là A Phương pháp giải GTLN-GTNN cơ bản Lời giải \[Xét hàm số: T(r) = T_0 \left( 1 - \frac{r}{R} \right)^p = 15.10^6 \left( 1 - \frac{r}{R} \right)^p\] Nhiệt độ lớn nhất \(\Leftrightarrow\) Khi \(r=0\) (tâm Mặt Trời), nhiệt độ Mặt Trời lớn nhất: \[T_{\text{max}} = T(0) = T_0 \left( 1 - \frac{0}{R} \right)^p = 15.10^6 (K)\] Nhiệt độ nhỏ nhất \(\Leftrightarrow r=R\) (Bề mặt Mặt Trời): \[T_{\text{min}} = T(R) = T_0 \left( 1 - \frac{R}{R} \right)^p = 0(K)\] (Các giá trị này là lý thuyết, thực tế bề mặt Mặt Trời có nhiệt độ khoảng \(5500(K)\)) \[\Rightarrow M+m=15.10^6(K).\]

21

Câu 21:

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S): (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 16\) và mặt phẳng \((P): x-2y+2z-15=0\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu \((S)\) và mặt phẳng \((P)\). Xác định tọa độ tâm tọa độ tâm \(O\) và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu \((S)\) và mặt phẳng \((p)\).

A. \(O(1;2;-3), r = \sqrt{2}\). C. \(O\left(\frac{5}{3}; \frac{-7}{3}; \frac{13}{3}\right), r = 2\sqrt{3}\)

B. \(O\left(\frac{5}{3}; \frac{-7}{3}; \frac{13}{3}\right), r = 2\sqrt{3}\). B. \(O\left(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{-4}{3}\right), r = 2\sqrt{3}\)

C. \(O\left(\frac{1}{3}; \frac{-7}{3}; \frac{13}{3}\right),r = \sqrt{2}\). Đáp án đúng là C Phương pháp giải Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) Lời giải Mặt cầu (S) có tâm \(I(1;-1;3)\) và bán kính \(R=4\) \[Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \((P)\) là: \(d(I, (P)) = \frac{|1+2+2.3-15|}{\sqrt{1+4+4}} = 2<R=4\)\] ⇒ Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Gọi \(O\) là tâm đường tròn giao tuyến ⇒ \(O\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \((P)\) Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) là: \[\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 - 2t, (t \in \mathbb{R}) \\ z = 3 + 2t \end{cases}\] Tọa độ tâm đường tròn giao tuyến là nghiệm của hệ phương trình: \[\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 -2t \\ z = 3 + 2t \\ x - 2y + 2z - 15 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = -1 -2t \\ z = 3+2t \\ 9t - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = -1 -2t \\ t = \frac{2}{3} \\ t = \frac{2}{3} \\ t = \frac{2}{3}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{5}{3} \\ y = -\frac{7}{3} \\ z = \frac{13}{3} \\ t = \frac{2}{3} \\ t = \frac{3}{3} \\ t = \frac{2}{3} \end{cases}\] \[\Rightarrow O\left(\frac{5}{3}; -\frac{7}{3}; \frac{13}{3}\right)\] Bán kính đường tròn tâm \(O\) là: \(r = \sqrt{R^2 - d(I; (P))} = \sqrt{16 - 4} = 2\sqrt{3}\)

22

Câu 22:

Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}\), \(d_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}\), điểm \(A(0;-2;1)\).

Xác định phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và cắt hai đường thẳng \(d_1, d_2\).

A. \[\begin{cases} x = 6t \\ y = -2 + 12t \\ z = 1 + 11t \end{cases}\]

B. \[\begin{cases} x = 6t \\ y = -2 - 12t \\ z = 1 + 11t \end{cases}\]

C. \[\begin{cases} x = -6t \\ y = -2 + 12t \\ z = 1 - 11t \end{cases}\] ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Gọi giao điểm của đường thẳng cần tìm với các đường thẳng \(d_1, d_2\), tham số hóa tọa độ các điểm đó và dùng điều kiện 3 điểm thẳng hàng ### Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(\Delta\) và \(d_1 \Rightarrow M(1+t; 2t; -1-t)\) \(N\) là giao điểm của \(\Delta\) và \(d_2 \Rightarrow N(2t'; 1+2t'; 2+3t')\) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua 3 điểm \(M, N, A \Rightarrow \overrightarrow{MA} = k \overrightarrow{NA}\) \[\overrightarrow{MA} = (-1-t; -2-2t; 2+t)\] \[\overrightarrow{NA} = (-2t'; -3-2t'; -1-3t')\] \[\text{Ta có:} \begin{cases} -1-t = k(-2t') \\ -2-2t = k(-3-2t') \Rightarrow 2+t = k(-1-3t') \end{cases} \begin{cases} t = \frac{-23}{17} \\ t' = \frac{3}{2} \\ k = \frac{-2}{17} \end{cases}\] \[\Rightarrow M\left(\frac{-6}{17}; \frac{-46}{17}; \frac{6}{17}\right), N\left(3; 4; \frac{13}{2}\right)\] \[\overrightarrow{NA} = \left(-3; -6; \frac{-11}{2}\right)\] Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A\) và nhận vecto \(\overrightarrow{NA}\) là vecto chỉ phương Chọn lại vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_\Delta} = (6; 12; 11)\) \[\text{Vậy phương trình đường thẳng } \Delta: \begin{cases} x = 6t_1 \\ y = -2 + 12t_1 \\ z = 1 + 11t_1 \end{cases}\]

23

### Câu 23:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((\alpha): ax + by + cz + d = 0\) với \(a^2 + b^2 + c^2 > 0\) đi

qua hai điểm \(M(2; -1; 1)\), \(N(1; -3; 2)\). Biết rằng khoảng cách từ điểm \(P = (5; 0; -4)\) đến mặt phẳng \((\alpha)\)

đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị biểu thức: \(T = \frac{|a+b+c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)?

A. \(T = \frac{\sqrt{770}}{77}\)

B. \(T = \sqrt{770}\)

C. \(T = \frac{\sqrt{770}}{770}\)

D. \(T = \frac{23\sqrt{770}}{770}\). D. \(T = \frac{23\sqrt{770}}{770}\) ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Đánh giá ### Lời giải Ta có: \(\overline{MN} = (-1; -3; 1)\). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(M, N\) là: \[\begin{cases} x = 2 - t \\ y = -1 - 3t, t \in \mathbb{R} \\ z = 1 + t \end{cases}\] Gọi \(H(2-t; -1-3t; 1+t) \in MN\) là hình chiếu vuông góc của \(P\) trên đường thẳng \(MN\). \[\Rightarrow \overrightarrow{PH} = (-3-t; -1-3t; 5+t), \overrightarrow{u_{MN}} = (-1; -3; 1)\] Vì \(PH \perp MN \Rightarrow \overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{u_{MN}} = 0\) \[\begin{align*} \Rightarrow -1.(-3-t) - 3(-1-3t) + (1+t) &= 0 \\ \Rightarrow 3 + t + 3 + 9t + 1 + t &= 0 \\ \Rightarrow 11t + 7 &= 0 \\ \Rightarrow t &= -\frac{7}{11} \\ \Rightarrow \overrightarrow{PH} &= \left(-\frac{26}{11}; \frac{10}{11}; \frac{48}{11}\right) \end{align*}\] Ta có: \(d(P, (\alpha)) \le PH\), dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow PH \perp (\alpha)\) \[\Rightarrow \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \overrightarrow{PH} = \left(\frac{-26}{11}; \frac{10}{11}; \frac{48}{11}\right)=\frac{2}{11}(-13; 5; 24)\] Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là: \[\begin{align*} -13(x-2) + 5(y+1) + 24(z-1) &= 0 \\ \Leftrightarrow -13x + 5y + 24z + 7 &= 0 \end{align*}\] \[ \text{Vậy } T = \frac{|a+b+c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{| -13+5+24+7|}{\sqrt{13^2+5^2+24^2}} = \frac{23\sqrt{770}}{770} \]

24

## Câu 24:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C)\). Xét điểm \(M(x; f(x))\) thay đổi trên \((C)\). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) tại \(M\) là \(k_M = x^2\sqrt{x^3+6}\) và điểm \(M\) trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Xác định biểu thức \(f(x)\).

A. \(f(x) = \frac{2\sqrt{(x^3+6)^3}}{3} - \frac{2\sqrt{6}}{3}\). C. \(f(x) = \frac{2\sqrt{(x^3+6)^3}}{\sqrt{9}} - \frac{4\sqrt{6}}{3}\)

B. \(f(x) = \frac{2\sqrt{(x^3+6)^3}}{\sqrt{9}} - \frac{4\sqrt{6}}{3}\). B. \(f(x) = \frac{\sqrt{(x^3+6)^3}}{9} + \frac{2\sqrt{6}}{3}\)

C. \(f(x) = -\frac{2\sqrt{(x^3+6)^3}}{9} - \frac{4\sqrt{6}}{3}\). ## Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải Đổi biến, tính nguyên hàm ### Lời giải Theo đề bài ta có: \[ f'(x) = x^2\sqrt{x^3+6} \Rightarrow f(x) = \int x^2\sqrt{x^3+6} dx \] Đặt \(t = \sqrt{x^3+6} \Rightarrow t^2 = x^3+6 \Rightarrow 2tdt = 3x^2dx \Rightarrow x^2dx = \frac{2t}{3} dt\) \[\Rightarrow f(x) = \int x^2\sqrt{x^3+6} dx = \int t \cdot \frac{2t}{3} dt = \frac{2}{3} \int t^3 + C = \frac{2t^3}{9} + C = \frac{2\sqrt{(x^3+6)^3}}{9} + C\] Vì \(M\) trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên \(f(0) = 0\) \[\Rightarrow f(0) = \frac{2\sqrt{6}^3}{9} + C = 0 \Rightarrow c = -\frac{4\sqrt{6}}{3}\] Vậy hàm \(f(x) = \frac{2\sqrt{(x^3+6)^3}}{9} - \frac{1}{3}\sqrt{6}\)

25

Câu 25:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = (x-1)^2(x^2-2x)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f(x^2-8x+m)\) có 5 cực trị? (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:

![](images/0.jpg)

Đáp án đúng là "15"

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số

Lời giải

Xét hàm số: \(g(x) = f(x^2-8x+m)\)

\[f'(x) = (x-1)^2 x(x-2)\]

\[\Rightarrow g'(x) = (2x-8).f'(x^2-8x+m)\]

\[= (2x-8)(x^2-8x+m-1)^2(x^2-8x+m)(x^2-8x+m-2)\]

\[g'(x) = 0 \Rightarrow
\begin{cases}
x = 4 \\
(x^2-8x+m-1)^2 = 0 \quad (1) \\
(x^2-8x+m) = 0 \quad (2) \\
(x^2-8x+m-2) = 0 \quad (3)
\end{cases}\]

Các phương trình (1), (2), (3) không có nghiệm chung từng đôi một và nếu có các nghiệm thì nghiệm ấy cũng là nghiệm bội chẵn.

\(\Rightarrow g(x)\) có 5 điểm cực trị \(\Leftrightarrow (2)(3)\) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4

\[\Leftrightarrow
\begin{cases}
16-m > 0 \\
16-m+2 > 0 \\
16-32+m \neq 0 \\
16-32+m-2 \neq 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
m < 16 \\
m < 18 \\
m \neq 16 \\
m \neq 18
\end{cases}
\Rightarrow m < 16\]

Vì \(m\) nguyên dương và \(m < 16\) nên có 15 giá trị \(m\) cần tìm

26

Câu 26:

Cho hàm số \(y = f(x) = x^3 + 3x^2 + 4\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(M(m;4)\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực

của tham số m để qua M có hai tiếp tuyến của đồ thị (C). Số phần tử của S là? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "3"

Phương pháp giải

Xác định phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc (C)

Lời giải

\[
Gọi điểm A(a; a^3 + 3a^2 + 4) \in (C)
\]

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A là:

\[
y = (3a^2 + 6a)(x - a) + a^3 + 3a^2 + 4
\]

Do tiếp tuyến đi qua điểm M(m;4) nên ta có: (3a^2 + 6a)(m - a) + a^3 + 3a^2 + 4 = 4

\[
\Leftrightarrow a(-2a^2 - 3a + 3am + 6m) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0 \\ -2a^2 + a(3m - 3) + 6m = 0 \end{cases} (1)
\]

Để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có 2 trường hợp:

TH1: Phương trình (1) có nghiệm kép khác 0

\[
\Leftrightarrow \begin{cases} 6m \neq 0 \\ \Delta = (3m - 3)^2 + 48m = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ 9m^2 + 30m + 9 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = -3 \\ m = \frac{-1}{3} \end{cases}
\]

Th2: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 nghiệm bằng 0

\[
\Rightarrow \begin{cases} m = 0 \\ 9m^2 + 30m + 9 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m = 0 \\ m > -\frac{1}{3} \Rightarrow m = 0 \\ m < -3 \end{cases}
\]

27

Câu 27:

Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{x-3}{x-2}\) và đường thẳng: \(y = 3x + m\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A, B\) sao cho độ dài đoạn \(AB\) nhỏ nhất? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "29/5"

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Lời giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\[
\begin{align*}
\frac{x-3}{x-2} &= 3x+m \Leftrightarrow x-3 = (x-2)(3x+m) \\
\Leftrightarrow 3x^2 + mx - 6x - 2m - x + 3 &= 0 \\
\Leftrightarrow 3x^2 + mx - 7x - 2m + 3 &= 0 \\
\Leftrightarrow 3x^2 + (m-7)x - 2m + 3 &= 0 (1)
\end{align*}
\]

Để đồ thị hai hàm số có hai giao điểm thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2

\[
\begin{cases}
12 + 2(m-7) - 2m + 3 \neq 0 \\
m^2 + 10m + 13 > 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
1 \neq 0 \\
m < -5 - 2\sqrt{3} \\
m > -5 + 2\sqrt{3}
\end{cases}
\]

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\). Theo hệ thức Viet ta có:

\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = \frac{7-m}{3} \\
x_1 x_2 = \frac{-2m+3}{3}
\end{cases}
\]

Giả sử: \(A(x_1; 3x_1 + m)\), \(B(x_2; 3x_2 + m)\)

Ta có:

\[
\begin{align*}
AB &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (3x_2 - 3x_1)^2} = \sqrt{10(x_2 - x_1)^2} \\
&= \sqrt{10(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{10\left(\frac{7-m}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{-2m+3}{3}\right)} \\
&= \sqrt{\frac{10}{9}m^2 - \frac{116}{9}m + \frac{454}{9}}
\end{align*}
\]

\(AB\) nhỏ nhất khi \(m = \frac{29}{5}\)

Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu từ 28 đến 30.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình thoi, có góc \(\widehat{ABC} = 60^\circ\), cạnh đáy bằng \(a\). Hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. \(SA = a\sqrt{2}\)

28

Câu 28:

Tính khoảng cách từ điểm \(B\) và mặt phẳng \((SCD)\)?

A. \(\frac{a\sqrt{11}}{11}\)

B. \(\frac{a\sqrt{66}}{11}\)

C. \(\frac{a\sqrt{6}}{11}\)

D. \(\frac{a\sqrt{66}}{66}\). Đáp án đúng là B Phương pháp giải Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng Lời giải ![](images/0.jpg) Vì \(\begin{cases} (SAB) \perp (ABCD) \\ (SAD) \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp (ABCD) \\ (SAB) \cap (SAD) = SA \end{cases}\) Ta có: \(\begin{cases} AB \parallel CD \\ CD \subset (SCD) \Rightarrow AB \parallel (SCD) \Rightarrow d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) \end{cases}\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) Vì \(\Delta ACD\) đều \(\Rightarrow AM \perp CD\) Xét \(CD\) và mặt phẳng \((SAM)\) có: \[ \begin{cases} AM \perp CD \\ CD \perp SA \\ SA, AM \subset (SAM) \end{cases} \Rightarrow CD \perp (SAM) \] Trong mặt phẳng \((SAM)\) kẻ \(AK \perp SM\) \[ \begin{cases} AK \perp SM \\ AK \perp CD \\ CD, SM \subset (SAM) \end{cases} \Rightarrow AK \perp (SCD) \] \[ d(A, (SCD)) = AK \] Vì \(AM\) là đường cao trong \(\Delta ACD\) đều \(\Rightarrow AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\) có \(AK\) là đường cao \[ \Rightarrow \frac{1}{AK^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{2a^2} + \frac{1}{3a^2} = \frac{11}{6a^2} \Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{66}}{11} \]

29

Câu 29:

Tính cosin góc giữa hai đường \(AC\) và \(SD\)?

A. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

B. \(\frac{\sqrt{3}}{6}\)

C. \(\frac{2\sqrt{3}}{5}\)

D. \(\frac{\sqrt{3}}{4}\). **Đáp án đúng là B** **Phương pháp giải** Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau **Lời giải** ![](images/0.jpg) Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(O = AC \cap BD\) Trong mặt phẳng \((ABCD)\), kẻ \(ON // SD \Rightarrow N\) là trung điểm \(SB\) \[ \Rightarrow (AC, SD) = (AO, ON) = \widehat{AON} \] Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\) ta có: \(SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3}\) \(\Rightarrow NO = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) vì \(NO\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\) Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) có \(AN\) là đường trung tuyến \[ \Rightarrow AN = \frac{1}{2} SB = \frac{1}{2} \sqrt{SA^2 + AB^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] \(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC = a \Rightarrow AO = \frac{a}{2}\) \[ Xét tam giác \(AON\) có: \(\cos \widehat{AON} = \frac{NO^2 + AO^2 - NA^2}{2.NO.AO} = \frac{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4} - \frac{3a^2}{4}}{2.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6}\) \]

30

## Câu 30:

Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\)?

A. \(\frac{a^3\sqrt{3}}{6}\)

B. \(\frac{a^3\sqrt{6}}{2}\)

C. \(\frac{a^3\sqrt{6}}{2}\)

D. \(\frac{a^3\sqrt{6}}{6}\). Đáp án đúng là D Phương pháp giải Tính thể tích theo công thức ## Lời giải \[ \text{Ta có: } V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{ABCD} \] \[ \text{BO là đường cao trong tam giác đều } ABC \Rightarrow BO = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow BD = a\sqrt{3} \] \[ \text{Vậy } V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{6}}{6} \]

31

## Câu 31:

Xác định hệ số của \(x^6\) trong khai triển \(\left(x^4 - \frac{1}{x^3}\right)^n\) biết \(n\) là nghiệm của phương trình:
\[ C_n^0 + 2C_n^1 + 2^2C_n^2 + \ldots 2^nC_n^n = 243? \text{ (nhập đáp án vào ô trống).} \]

Đáp án:

Đáp án đúng là "10"

## Phương pháp giải

Khai triển nhị thức Newton

## Lời giải

Xét phương trình

\[ C_n^0 + 2C_n^1 + 2^2C_n^n + \ldots 2^nC_n^n = 243 \]

Xét khai triển:

\[ (1+x)^n = C_n^0 + xC_n^1 + x^2C_n^2 + \ldots + C_n^n x^n \]

Cho \(x=2\), thay vào: \((1+x)^n = C_n^0 + xC_n^1 + x^2 C_n^2 + \ldots + C_n^n x^n\) ta có:

\[ 3^n = C_n^0 + 2C_n^1 + 2^2C_n^1 + \ldots + 2^nC_n^n \]

\[ \Rightarrow 3^n = 243 = 3^5 \]

\[ \Rightarrow n = 5 \]

Xét khai triển:

\[ \left(x^4 - \frac{1}{x^3}\right)^5 = \sum_{k=0}^5 C_n^k \left(x^4\right)^{5-k} \cdot \left(\frac{-1}{x^3}\right)^k \]

\[= \sum_{k=0}^{5} C_n^k x^{20-4k} \cdot (-1)^k x^{-3k} = \sum_{k=0}^{5} C_n^k x^{20-7k} \cdot (-1)^k\]

Số hạng chứa \(x^6 \Leftrightarrow 20 - 7k = 6 \Rightarrow k = 2\)

Vậy hệ số của \(x^6\) trong khai triển là: \(C_5^2 = 10\)

32

## Câu 32:

Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức: \(\left(x - \frac{1}{x^2}\right)^{20} + \left(x^3 - \frac{1}{x}\right)^{10}\) có tất cả bao nhiêu số hạng:

A. 28

B. 29

C. 30

D. 32. ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Khai triển nhị thức Newton ### Lời giải \[Xét khai triển \left(x - \frac{1}{x^2}\right)^{20} + \left( x^3 - \frac{1}{x} \right)^{10}\] \[= \sum_{k=0}^{20} C_n^k x^{20-k} \left( \frac{-1}{x^2} \right)^k + \sum_{m=0}^{10} C_m^m x^{3(10-m)} \cdot \left( \frac{-1}{x} \right)^m\] \[= \sum_{k=0}^{20} (-1)^k C_n^k x^{20-3k} + \sum_{m=0}^{10} (-1)^m C_m^m x^{30-4m}\] Ta tìm các số hạng có cùng lũy thừa của \(x\): \[\begin{cases} 0 \le m \le 10, & 0 \le k \le 10 \\ 20 - 3k = 30 - 4m \Leftrightarrow 4m - 3k = 10 \end{cases}\] \[\Rightarrow (k; m) = (2; 4); (6; 7); (10; 10)\] Vậy khai triển đã cho có tất cả \(21+11=29\) số hạng

33

## Câu 33:

Cho \(a, b\) là các số thực khác 0. Biết \(\lim_{x \to +\infty} (ax + b - \sqrt{x^2 - 6x + 2}) = 5\). Xác định tích \(ab\)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Đánh giá và biện luận

Lời giải

Ta có:

\[ \lim_{x \to +\infty} \left( ax + b - \sqrt{x^2 - 6x + 2} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(ax + b)^2 - x^2 + 6x - 2}{(ax + b + \sqrt{x^2 - 6x + 2})} \]

\[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{(ax)^2 + 2abx + b^2 - x^2 + 6x - 2}{(ax + b + \sqrt{ x^2 - 6x + 2 })} \]

\[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{(a^2 - 1)x^2 + (2ab + 6)x + b^2 - 2}{(ax + b + \sqrt{x^2 - 6x + 1})} \]

Để giới hạn đã cho bằng \(5 \Rightarrow a^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow a = \pm 1\)

Trường hợp 1: \(a = -1\) loại vì khi tính giới hạn ra mẫu bằng 0

\[ \text{Trường hợp2: } a = 1 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} \frac{(2b + 6)x + b^2 - 2}{(x + b + \sqrt{x^2 - 6x + 2})} = \frac{2b + 6}{2} \]

\[ \Rightarrow \frac{2b + 6}{2} = 5 \Rightarrow 2b + 6 = 10 \Rightarrow b = 2 \]

Vậy tích \(a.b = 2\)

34

Câu 34:

Một máy bay gồm 4 động cơ quan trọng ảnh hưởng đến sự an toàn của chuyến bay. Xác suất để mỗi động cơ đó gặp sự cố khi bay là 0,05. Máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu có nhiều nhất một trong 4 động cơ gặp sự cố. Xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn là?

A. 0,9713

B. 0,8145

C. 0,986

D. 0,9136. Đáp án đúng là C Phương pháp giải Sử dụng tính chất của xác suất ## Lời giải Máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu có nhiều nhất một trong 4 động cơ bị hỏng thì xảy ra hai trường hợp sau đây: TH1: Cả 4 động cơ đều hoạt động bình thường \[P_1 = (1-0,05)^4 = 0,8145\] TH2: Có một động cơ bị hỏng, 3 động cơ khác hoạt động bình thường \[P_2 = 0,05.(1-0,05)^3.4 = 0,1715\] Vậy xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn là: \[P = P_1 + P_2 = 0,8145 + 0,1715 \approx 0,986.\]

35

## Câu 35:

Xác định phương trình elip đi qua điểm \(M(2; -\frac{5}{3})\), biết tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn bằng \(\frac{2}{3}\).

\[\text{A. } \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1.\]

\[\text{B. } \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1.\]

\[\text{C. } \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} \approx 0.\]

\[\text{D. } \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{9} = 1.\]

## Đáp án đúng là A

### Phương pháp giải

Xác định phương trình elip

### Lời giải

Theo bài tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn là \(\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow c = \frac{2}{3}a\)

Mà \(b^2 = a^2 - c^2 \Rightarrow b^2 = a^2 - \frac{4}{9}a^2 = \frac{5}{9}a^2\)

Phương trình elip có dạng: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{5} = 1\)

Elip đi qua điểm \(M(2; -\frac{5}{3})\)

\[\Rightarrow \frac{4}{a^2} + \frac{5}{9} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{a^2} + \frac{5}{a^2} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^2} = 1 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow \begin{cases} a = 3 \\ a = -3(L) \end{cases} \Rightarrow b = \sqrt{5}\]

Phương trình elip cần tìm là: \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1\)

A. } \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1.\] \[\text{

B. } \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1.\] \[\text{

C. } \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} \approx 0.\] \[\text{

D. } \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{9} = 1.\] ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Xác định phương trình elip ### Lời giải Theo bài tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn là \(\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow c = \frac{2}{3}a\) Mà \(b^2 = a^2 - c^2 \Rightarrow b^2 = a^2 - \frac{4}{9}a^2 = \frac{5}{9}a^2\) Phương trình elip có dạng: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{5} = 1\) Elip đi qua điểm \(M(2; -\frac{5}{3})\) \[\Rightarrow \frac{4}{a^2} + \frac{5}{9} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{a^2} + \frac{5}{a^2} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^2} = 1 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow \begin{cases} a = 3 \\ a = -3(L) \end{cases} \Rightarrow b = \sqrt{5}\] Phương trình elip cần tìm là: \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1\)

36

## Câu 36:

Cho \(A, B\) là hai biến cố độc lập có \(P(A) = a, P(A \cap B) = m\). Khi đó: \(P(A \cup B)\) bằng:

A. \(P(A \cup B) = m - a - \frac{m}{a}\)

B. \(P(A \cup B) = \frac{m}{a}\)

C. \(P(A \cup B) = m - a\)

D. \(P(A \cup B) = m - \frac{m}{a}\). ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Dựa vào tính chất của xác suất ### Lời giải Ta có: \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\) Vì \(A, B\) là hai biến cố độc lập nên \[ \begin{aligned} P(A \cap B) &= P(A).P(B) \Rightarrow m = a.P(B) \Rightarrow P(B) = \frac{m}{a} \\ \Rightarrow P(A \cup B) &= P(A \cap B) - P(A) - P(B) = m - a - \frac{m}{a} \end{aligned} \]

37

## Câu 37:

Khi nghiên cứu về quá trình tăng trưởng của các quần thể sinh vật trong điều kiện môi trường hạn chế, các nhà khoa học chỉ ra đặc điểm chung nổi bật như sau: Ban đầu số lượng cá thể tăng trưởng chậm, sau đó nhanh và cuối cùng khi thời gian đủ dài, số lượng cá thể của quần thể đạt trạng thái cân bằng. Số lượng cá thể theo thời gian (t ngày) được mô hình hóa và xấp xỉ theo hàm số: \(N(t) = 15320 \left( 2 - \frac{1}{2} e^{-0.6t} \right)\). Khi quần thể ở trạng thái cân bằng, số cá thể của quần thể gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 33704

B. 38300

C. 22980

D. 30640. ### Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Dùng giới hạn dãy số để tính ## Lời giải Vì số lượng cá thể đạt trạng thái cân bằng khi thời gian đủ dài nên số lượng cá thể của quần thể khi đó là: \[ \lim_{t \to \infty} (N(t)) = \lim_{t \to \infty} \left( 15320 \cdot \left( 2 - \frac{1}{2} e^{-0.6t} \right) \right) = 30640 \]

38

## Câu 38:

Bảng dưới đây cho biết về phân bố tần số về số liệu chiều cao (tính bằng cm) của 100 học sinh trong một trường học. Chiều cao được chia thành các khoảng có độ dài bằng nhau. Tính trung vị của mẫu số liệu này.

Chiều cao (cm)	[140;150)	[150;160)	[160;170)	[170;180)	[180-190)
Số học sinh	10	20	40	20	10

A. 165

B. 155

C. 175

D. 160. ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Thống kê mẫu số liệu ghép nhóm ## Lời giải Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có: <table><tr><td>Chiều cao</td><td>[140;150)</td><td>[150;160)</td><td>[160; 170)</td><td>[170;180)</td><td>[180-190)</td></tr><tr><td colspan="6">Số học sinh</td></tr><tr><td>10</td><td>20</td><td>40</td><td>20</td><td>10</td></tr><tr><td>10</td><td>30</td><td>70</td><td>90</td><td>100</td></tr></table> Xét \(\frac{n}{2} = 50\) 50 thuộc \([160;170)\) nên nhóm chứa trung vị là nhóm 3 \[ \Rightarrow M_e = 160 + \frac{50 - 30}{40} \cdot 10 = 165 \]

39

Câu 39:

Xét tất cả các số thực \(x, y\) sao cho \(27^{5-y^2} \ge a^{6x-\log_a y^3}\) với mọi số thực dương \(a\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x^2 + y^2 - 4x + 8y\) bằng? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

![](images/0.jpg)

Đáp án đúng là "-15"

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi điểm \(M(x; y)\).

\[
\begin{align*}
\text{Ta có: } 27^{5-y^2} &\ge a^{6x-\log_a y^3} \Leftrightarrow 3^{3(5-y^2)} \ge a^{6x-3\log_a y^3} \Leftrightarrow 3(5-y^2) \ge (6x-3\log_a a) \log_a y \\
&\Leftrightarrow 3\log_a y^2 a - 6x\log_a a - 3y^2 + 15 \ge 0, \ \forall a > 0 \ (1)
\end{align*}
\]

Đặt \(t = \log_a a\), ta có \(t \in \mathbb{R}, \forall a > 0\).

\[
\text{Do đó: } (1) \Leftrightarrow 3t^2 - 6xt - 3y^2 + 15 \ge 0, \forall t \in \mathbb{R}
\]

\[
\Leftrightarrow \Delta' = 9x^2 + 9y^2 - 45 \le 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 - 5 \le 0 \ (2).
\]

Từ (2)suy ra điểm \(M\) thuộc hình tròn \((C)\) có tâm \(O(0; 0)\) và bán kính \(R = \sqrt{5}\).

Viết lại \(P = x^2 + y^2 - 4x + 8y = (x-2)^2 + (y+4)^2 - 20 = AM^2 - 20\), trong đó \(A(2; -4)\).

![](images/1.jpg)

Từ hình vẽ, ta có: \(P_{\text{min}} \Leftrightarrow AM_{\text{min}} \Leftrightarrow M \equiv B \Rightarrow AM_{\text{min}} = OA - R = \sqrt{5} \Rightarrow P_{\text{min}} = -15\)

40

Câu 40:

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((A'BC)\) bằng?

A. \(\frac{a\sqrt{21}}{7}\)

B. \(\frac{a\sqrt{21}}{14}\)

C. \(\frac{3a\sqrt{21}}{14}\)

D. \(\frac{a\sqrt{21}}{21}\). Đáp án đúng là B Phương pháp giải Xác định khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng Lời giải \[C'M \cap (A'BC) = C, \text{ suy ra } \frac{d(M, (A'BC))}{d(C', (A'BC))} = \frac{C'M}{C'C} = \frac{1}{2}.\] Ta có \(V_{C'A'BC} = \frac{1}{3}V_{ABC.A'BC} = \frac{1}{3}C'C.S_{\Delta ABC} = \frac{1}{3}a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}.\) Lại có \(A'B = a\sqrt{2}, CB = a, A'C = a\sqrt{2} \Rightarrow S_{A'BC} = \frac{a^2\sqrt{7}}{4}.\) Suy ra \(d(C', (A'BC)) = \frac{3V_{C'A'BC}}{S_{\Delta ABC}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{12}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{4}} = \frac{a\sqrt{21}}{7}.\) Vậy \(d(M, (A'BC)) = \frac{1}{2}d(C', (A'BC)) = \frac{1}{2}\frac{a\sqrt{21}}{7} = \frac{a\sqrt{21}}{14}.\)

41

Câu 41:

Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm Trái Đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ Trái Đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế

toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng, khi nhiệt độ Trái Đất tăng thêm 2°C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ Trái Đất tăng thêm 5% thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10%. Biết rằng nếu nhiệt độ Trái Đất tăng thêm \(t'C\), tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm \(f(t)\)% thì \(f(t) = k.a'\), trong đó: \(k, a\) là các hằng số dương. Khi nhiệt độ Trái Đất tăng thêm bao nhiêu °C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20%?

A. 8,4°

B. 9,3°

C. C. 7,6°

D. 6,7°C. ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Ứng dụng hàm số mũ-hàm số loga ### Lời giải Theo bài ta có: \(\begin{cases} k.a^2 = 3\% \\ k.a^5 = 10\% \end{cases}\) (1). Ta cần tìm \(t\) sao cho \(k.a' = 20\%\) Từ \((1) \Rightarrow k = \frac{3\%}{a^2}\) và \(a^3 = \frac{10}{3} \Rightarrow a = \sqrt[3]{\frac{10}{3}}\) \(\Rightarrow \frac{3\%}{a^2} a' = 20\% \Rightarrow a'^{-2} = \frac{20}{3} \Rightarrow t - 2 = \log_a \frac{20}{3} \Rightarrow t = 2 + \log_{\sqrt[3]{\frac{10}{3}}} \frac{20}{3} \approx 6,7\)

42

### Câu 42:

Xác định chu kì tuần hoàn của hàm số: \(y = \frac{1}{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{18} \right) + \sin \left( \frac{x}{5} + \frac{\pi}{12} \right)\)

A. \(2\pi\)

B. \(6\pi\)

C. \(10\pi\)

D. \(12\pi\). ### Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải Xác định chu kì của hàm số ### Lời giải Ta có: chu kì tuần hoàn của \(\cos \left( 2x + \frac{\pi}{18} \right)\) là \(T_1 = \pi\) Chu kì tuần toàn của \(\sin \left( \frac{x}{5} + \frac{\pi}{12} \middle) \) là \(T_2 = 10\pi\) Vậy chu kì tuần hoàn của hàm số là: \(10\pi\)

43

Câu 43:

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương, biết rằng \(a^{\log_2^5} = 32, b^{\log_3^5} = 9, c^{\log_5^5} = \sqrt{5}\). Tính giá trị biểu thức:

\[T = a^{\log_2^5} + \frac{1}{7} b^{\log_3^7} + a^{\log_5^9} ?\]

A. \(T = 3000\)

B. \(T = 3135\)

C. \(T = 2590\)

D. \(T = 3250\). Đáp án đúng là B Phương pháp giải Tính chất, công thức logarit Lời giải \[T = a^{\log_2^5} + \frac{1}{\sqrt{7}} b^{\log_3^7} + a^{\log_5^9} \\ = (a^{\log_2^5})^{\log_2^5} + \frac{1}{\sqrt{7}} (b^{\log_3^7})^{\log_3^7} + (c^{\log_5^9})^{\log_5^9} \\ = 32^{\log_2^5} + \frac{1}{\sqrt{7}} \log_3^7 + (\sqrt{5})^{\log_5^9} \\ = 5^5 + \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot 7^2 + 3 = 3135\]

44

Câu 44:

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình: \(7^{x-1} - 2\log_7(6x-5)^3 = 1\) là bao nhiêu?

A. 5

B. 6

C. 3

D. 2. Đáp án đúng là C Phương pháp giải Hàm đặc trưng Lời giải \[\text{Điều kiện xác định } x > \frac{5}{6}.\] \[7^{x-1} - 2\log_7(6x-5)^3=1\] \[\Leftrightarrow 7^{x-1} - 16\log_7(6x-5)=1\] \[ \exists \exists t u = x - 1, v = \log_7 (6x - 5) \Rightarrow 6x - 5 = 7^v \] \[ \Rightarrow 6(x-1)+1=7^v \Rightarrow 1=7^v - 6u \] \[ \text{Ta có phương trình: } 7^u - 6v = 7^v - 6u \Leftrightarrow 7^u + 6^u = 7^v + 6v \] \[ Xét hàm số: f(t) = 7^t + 6t \] \[ f'(t) = 7^t \ln 7 + 6 > 0, \forall t \Rightarrow \text{Hàm số } y = f(t) \text{ đồng biến trên } \mathbb{R} \] \[ \Rightarrow f(u) = f(v) \Rightarrow 1 = 7^u - 6u \] \[ Xét hàm số: g(t) = 7^t - 6t \text{ có:} \] \[ g'(t) = 7\ln 7 - 6 = 0 \Rightarrow t_0 = \log_7 \frac{6}{\ln 7} \] \[ g''(t) = 7'(\ln 7)^2 > 0 \] Do đó \(t_0\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Mà \(g(0) = g(1) = 1\) nên phương trình \(1 = 7^u - 6u\) có đúng 2 nghiệm \(u = 0, u = 1 \Rightarrow x = 1, x = 2\) (tm) Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 3

45

Câu 45:

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(2a\) và \(O\) là tâm của đáy. Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(O\) qua trọng tâm của các tam giác \(SAB, SBC, SCD, SDA\) và \(S'\) là điểm đối xứng với \(S\) qua \(O\). Thể tích của khối chóp \(S'.MNPQ\) bằng

\[
\text{A. } \frac{20a^3\sqrt{14}}{81}
\]

\[
\text{B. } \frac{10a^3\sqrt{14}}{81}
\]

\[
\text{C. } \frac{a^3\sqrt{14}}{81}
\]

\[
\text{D. } \frac{2a^3\sqrt{14}}{81}
\]

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính thể tích trực tiếp

Lời giải
![](images/0.jpg)

Gọi \(G_1, G_2, G_3, G_4\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta SAB, \Delta SBC, \Delta SCD, \Delta SDA\).

\(E, F, G, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\).

\[ \text{Ta có } S_{MNPQ} = 4S_{G_1G_2G_3G_4} = 4 \cdot \frac{4}{9} S_{EFGH} = 4 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} EG \cdot HF = \frac{8a^2}{9}. \]

\[ d(S', (MNPQ)) = d(S', (ABCD)) + d(O, (MNPQ)) = d(S, (ABCD)) + 2d(O, (G_1G_2G_3G_4)) \]

\[ = d(S, (ABCD)) + \frac{2}{3} d(S, (ABCD)) = \frac{5}{3} d(S, (ABCD)) = \frac{5a\sqrt{14}}{6} \]

\[ \text{Vậy } V_{S', MNPQ} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5a\sqrt{14}}{6} \cdot \frac{8a^2}{9} = \frac{20a^3\sqrt{14}}{81}. \]

A. } \frac{20a^3\sqrt{14}}{81} \] \[ \text{

B. } \frac{10a^3\sqrt{14}}{81} \] \[ \text{

C. } \frac{a^3\sqrt{14}}{81} \] \[ \text{

D. } \frac{2a^3\sqrt{14}}{81} \] Đáp án đúng là A Phương pháp giải Tính thể tích trực tiếp Lời giải ![](images/0.jpg) Gọi \(G_1, G_2, G_3, G_4\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta SAB, \Delta SBC, \Delta SCD, \Delta SDA\). \(E, F, G, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\). \[ \text{Ta có } S_{MNPQ} = 4S_{G_1G_2G_3G_4} = 4 \cdot \frac{4}{9} S_{EFGH} = 4 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} EG \cdot HF = \frac{8a^2}{9}. \] \[ d(S', (MNPQ)) = d(S', (ABCD)) + d(O, (MNPQ)) = d(S, (ABCD)) + 2d(O, (G_1G_2G_3G_4)) \] \[ = d(S, (ABCD)) + \frac{2}{3} d(S, (ABCD)) = \frac{5}{3} d(S, (ABCD)) = \frac{5a\sqrt{14}}{6} \] \[ \text{Vậy } V_{S', MNPQ} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5a\sqrt{14}}{6} \cdot \frac{8a^2}{9} = \frac{20a^3\sqrt{14}}{81}. \]

46

## Câu 46:

\[ \text{Phương trình } (x-3)^{3x^2-5x+2} = (x^2-6x+9)^{x^2+x-4} \text{ có tất cả bao nhiêu nghiệm?} \]

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2. ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải #### Lời giải Phương trình được biến đổi về dạng: \[(x-3)^{3x^2-5x+2} = [(x-3)^2]^{x^2+x-4}\] \[\Leftrightarrow (x-3)^{3x^2-5x+2} = (x-3)^{2(x^2+x-4)}\] \[\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-3 = 1 \\ 0 < x-3 \neq 1 \\ 3x^2-5x+2 = 2x^2+2x-8 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 4 \\ x < 3 \neq 4 \\ x^2-7x+10 = 0 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 4 \\ x < 5 \\ x^2-7x+10 = 0 \end{bmatrix}\] Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

47

## Câu 47:

Nghiệm của phương trình lượng giác: \(\sin x - \sqrt{3}\cos x = 2\cos 2x\) là \((\forall i \in \mathbb{Z})\)

A. \[\begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{k2\pi}{3} \end{cases}\]

B. \[\begin{cases} x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ x = -\frac{5\pi}{18} + \frac{k2\pi}{3} \end{cases}\]

C. \[\begin{cases} x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\\ x = -\frac{5\pi}{18} + \frac{k2\pi}{3} \\ x = \frac{5\pi}{18} + \frac{k2\pi}{3}\end{cases}\] ## Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải #### Lời giải Ta có: \[\sin x - \sqrt{3}\cos x = 2\cos 2x\] \[\Leftrightarrow 2\left(\frac{1}{2}\cdot \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos x\right) = 2\cdot \cos 2x\] \[\Leftrightarrow \sin \frac{\pi}{6}\sin x - \cos \frac{\pi}{6}\cdot \cos x = \cos 2x\] \[\Leftrightarrow -\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos 2x\] \[\Leftrightarrow \cos\left(\pi - x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos 2x\] <|ref|>equation<|/ref|><|/det|> \[\Leftrightarrow \begin{cases} \pi - x - \frac{\pi}{6} = 2x + k2\pi \\ \pi - x - \frac{\pi}{6} = -2x + k2\pi \end{cases}, (k \in \mathbb{Z})\] \[ \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{5\pi}{18} + k \frac{2\pi}{3}, & (k \in \mathbb{Z}) \\ x = \frac{-5\pi}{6} + k 2\pi \end{cases} \]

48

## Câu 48:

Hai vòi nước cùng chảy vào bể chứa có nước. Vòi thứ nhất chảy một mình thì 23 phút sau bể đầy, trong khi vòi thứ hai chỉ mất 16 phút. Hỏi nếu mở trước vòi thứ nhất để nước chảy vào bể thì sau bao lâu nên mở tiếp vòi thứ hai để lượng nước chảy ra từ vòi thứ nhất gấp đôi lượng chảy ra từ vòi thứ hai khi đầy bể?

A. 12 phút

B. 10 phút

C. 15 phút

D. 17 phút. ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải #### Lời giải Chia lượng nước trong bể khi bể đầy làm 3 phần, thì lượng nước của vòi thứ nhất chảy ra chiếm 2 phần, vòi thứ 2 chiếm 1 phần, tức là vòi thứ nhất chảy \(\frac{2}{3}\) bể nước, còn vòi thứ hai được \(\frac{1}{3}\) bể nước. Vòi thứ nhất chảy một mình thì mất 23 phút đầy bể nên cần \(\frac{2}{3} \cdot 23 = \frac{46}{3}\) phút để chảy được \(\frac{2}{3}\) Vòi thứ hai chảy một mình thì mất 16 phút đầy bể nên cần \(\frac{1}{3} \cdot 16 = \frac{16}{3}\) phút để chảy được \(\frac{1}{3}\) bể Vì hai vòi được đóng cùng lúc khi đầy bể nên vòi thứ nhất cần mở trước \(\frac{46}{3} - \frac{16}{3} = 10\) phút

49

## Câu 49:

Tìm tích ba số khác nhau biết chúng tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6. Nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai, giữ nguyên số hạng thứ ba, ta được cấp số nhân. (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:

Đáp án đúng là "-64"

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi 3 số cần tìm là \(u_1, u_2, u_3\) đôi một khác nhau

Vì \(u_1, u_2, u_3\) tạo thành cấp số cộng với công sai \(d \neq 0\) nên \(u_2 = u_1 + d, u_3 = u_1 + 2d\)

Mà \(u_1 + u_2 + u_3 = 6 \Rightarrow 3u_1 + 3d = 6 \Rightarrow u_1 + d = 2\)

Vì \(u_2, u_1, u_3\) tạo thành cấp số nhân nên \(u_1 + d; u_1; u_1 + 2d\) cũng tạo thành cấp số nhân

\[ \Rightarrow (u_1 + d)(u_1 + 2d) = u_1^2 \]

\[ \Rightarrow 2(2 + 2 - u_1) = u_1^2 \Leftrightarrow u_1^2 + 2u_1 - 8 = 0 \]

\[ \Rightarrow \begin{cases} u_1 = 2 \\ u_1 = -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} d = 0 (\text{ktm}) \\ d = 6 \end{cases} \]

Vậy ba số cần tìm là: -4; 2; 8.

Tích 3 số là -64

50

Câu 50:

Đọc dữ liệu sau:

'Tang táng trời rạng đông

Rủ nhau đi hái hồng

Mỗi người 5 quả thừa 5 quả

Mỗi người 6 quả 1 người không'

Giả sử số quả hồng là \(x\), số người là \(y\). Tính tổng \(S = x + y\). (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "71"

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi số hồng là \(x\) quả \(x > 0, x \in \mathbb{Z}\)

Số người là \(y\) người, \(y > 0, y \in \mathbb{Z}\)

Theo đề ra ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
5y + 5 = x \\
(y - 1).6 = x
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
5y + 5 = 6y - 6 \\
5y + 5 = x
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
y = 11 \\
x = 60
\end{cases}
\]

---